届重庆一诊理科数学试题含答案定稿Word文件下载.docx
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“甲、丙都未获奖.”丙说:
“我获奖了.”丁说:
“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的,则获奖的同学是
A.甲B.乙C.丙D.丁
5.下表是我国某城市在2018年1月份至10月份各月最低温与最高温(°
C)的数据表.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
11
17
24
27
30
31
21
最低温
-12
-3
-2
19
23
25
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该表,则下列结论错误的是
A.最低温与最高温为正相关
B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D.1至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7至10月,波动性更大
6.如图所示的程序框图,运行程序后,输出的的值为
A.B.C.D.
7.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的
题目:
把个面包分给个人,使每人所得成等差数列,且使较多的
三份之和的是较少的两份之和,则最少的一份面包个数为
A.B.C.D.
8.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的4个格子涂色,每个
格子涂一种颜色,且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法有
A.种B.种C.种D.种
9.将函数的图象向左平移个单位,得到的图象,
则下列说法正确的是
A.函数的最小正周期为B.函数的最小值为
C.函数的图象关于对称D.函数在上单调递减
10.已知函数,若不等式成立,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
11.已知抛物线C:
的焦点与双曲线的右焦点相同,过点分别
作两条直线,,直线与抛物线C交于,两点,直线与抛物线C交于,两
点,若与的斜率的平方和为,则||+||的最小值为
A.B.C.D.
12.如图,四边形是边长为的正方形,,点为内(含
边界)的动点,设,则的最大值是
A.B.
C.D.
二、填空题:
本题共个小题,每小题分,共分.把答案填写在答题卡相应位置上.
13.已知复数,,则__________.
14.在的展开式中,常数项是 (用数字作答).
15.若直线:
与曲线C:
交于,两点,则的最小值为 .
16.已知函数和的图象关于轴对称,当函数和在区间[,]上同时递增或者同时递减时,把区间[,]叫做函数的“不动区间”.若区间[,]为函数的“不动区间”,则实数的取值范围是 .
三、解答题:
共分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上.第题第题为必考题,每个试题考生都必须做答.第题第题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共分.
17.(本小题满分分)
已知数列的前项和为,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,设数列的前项和为,求.
18.(本小题满分分)
自来水公司对某镇居民用水情况进行调查,从该镇居民中随机抽取50户作为样本,得
到他们10月份的用水量(单位:
吨),用水量分组区间为[5,15],(15,25],
(25,35],(35,45],由此得到样本的用水量频率分布直方图(如图).
(Ⅰ)求的值,并根据样本数据,试估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值;
(Ⅱ)以样本的频率作为概率,从该镇居民中随机抽取3户,其中10月份用水量在
[5,15]内的用户数为,求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分分)
如图所示,一公园有一块三角形空地,其中
.公园管理方拟在中间开挖一个三角形人工
湖,其中在边上(不与重合,
在之间),且.
第19题图
(Ⅰ)若在距离点处,求的长;
(Ⅱ)为节省投入资金,三角形人工湖的面积要尽可能小.
设,试确定的大小,使的面积最小.
20.(本小题满分分)
如图,已知椭圆:
,其左右焦点为及,过点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于,两点,且||、||、||构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)记△的面积为,△(为原点)的面积
为.试问:
是否存在直线,使得?
请说明
理由.
21.(本小题满分分)
已知,函数.
(Ⅰ)若函数在上为减函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设正实数、满足,求证:
对上的任意两个实数、,总有成立.
(二)选考题:
共分.请考生在第、题中任选一题作答.如多做,则按所做的第一题计分.
22.【选修4-4:
坐标系与参数方程】
(本小题满分10分)
在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
()若点的极坐标为,且点在直线上,求直线的直角坐标方程;
(II)若直线与曲线交于两点,当最小时,求直线的极坐标方程.
23.【选修4-5:
不等式选讲】
已知函数.
()求函数的图象与轴所围成的三角形的面积;
(II)设函数的最小值为,若关于的不等式有实数解,求实数的取值范围.
高2019届学业质量调研抽测(第一次)
理科数学参考答案及评分意见
1-5DABDB6-10CADCD11-12CD
13.,14.-84,15.,16..
17.解:
()当时,利用公式,可得,.................4分
验证当时是适合的,即;
..........................5分
(),
......................7分
-得:
...........9分
,
............................................12分
18.解:
()由题意得,(0.02+0.032++0.018)×
10=1,解得=0.03;
........2分
由最高矩形中点的横坐标为20,可估计该镇居民10月份用水量的众数约为20吨;
.......................................................4分
50户居民10月份用水量的平均值为:
=0.2×
10+0.32×
20+0.3×
30+0.18×
40=24.6(吨),
故估计该镇居民10月份每户用水量的平均值约为24.6吨...............6分
(Ⅱ)利用样本估计总体,该镇居民10月份用水量在[5,15]内的概率为0.2,
则~(3,),=0,1,2,3;
==;
==;
==..............10分
∴的分布列为:
. .................12分
19.解:
(Ⅰ)在中,,
,.................................................2分
在中,由余弦定理得:
,
,..................................................5分
(Ⅱ),
在中,由,得,
..................................................................8分
==
=
=.......................11分
当,即时,取最小值.
应设计,可使的面积最小...................12分
20.解:
()||、||、||构成等差数列,
2=||+||=2||=8,=4.....2分
又因为=2,所以=12,.....................3分
椭圆的方程为................4分
()假设存在直线,使得,显然直线不能与,轴垂直.设方程为,..................................................5分
将其代入,整理得,....6分
设,,,
点的横坐标为,........8分
⊥,
,解得,即(,0),
∵Rt△和Rt△相似,∴若,则||=||,..........10分
,整理得82+9=0.
方程82+9=0无解,不存在直线,使得...............12分
21.解:
(),..................................1分
函数在上为减函数,即在上恒成立,也即在上恒成立,.................................3分
令,则在上为增函数,==,
........................................................5分
()设,令,,
则,,
,..................................................7分
又,,
在上是减函数,,,即,......................9分
在上是减函数,,
,,...........................11分
,有,
又,
.................................12分
22.解:
()由为参数得,直线的直角坐标方程为:
..2分
由的极坐标为得:
的直角坐标为,............................3分
又点在直线上,代入得,...............................................4分
∴直线的直角坐标方程为:
.......................................5分
(II)由得曲线的直角坐标方程为:
即:
...........................................................6分
∴曲线C的圆心为,半径..............................................7分
∵直线:
过定点,且该点在圆内,..........................8分
∴直线与圆交于两点,当最小时,有,,...............9分
直线的直角坐标方程,
化为极坐标方程为:
.....................................10分
23.解:
()原函数可化为:
................................