导数练习题及答案Word格式文档下载.docx
《导数练习题及答案Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数练习题及答案Word格式文档下载.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
3．函数f（x）＝x3＋2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于（ ）
A．2B．3
C．4D．5
答案 D
解析 f′（x）＝3x2＋2＋3.由f（x）在x＝－3时取得极值，
即f′（－3）＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.
4．函数y＝的大致图象为（ ）
解析 函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x＞－1时，y＝－（x＋1）为减函数，故选D.
5．二次函数y＝f（x）的图象过原点，且它的导函数y＝f′（x）的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f（x）的图象的顶点所在象限是（ ）
A．第一B．第二
C．第三D．第四
答案 C
解析 ∵y＝f′（x）的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f（x）的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．
6．已知函数f（x）＝－x3＋2－x－1在（－∞，＋∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－）B．[－，]
C．（，＋∞）D．（－，）
解析 f′（x）＝－3x2＋2－1≤0在（－∞，＋∞）恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.
7．设f（x）＝x，若f′（x0）＝2，则x0等于（ ）
A．e2B．2
D．e
解析 f′（x）＝x·
（x）′＋（x）′·
x＝1＋x.
∴f′（x0）＝1＋x0＝2，
∴x0＝1，
∴x0＝e.
8．设函数f（x）＝x－x（x＞0），则y＝f（x）（ ）
A．在区间（，1）（1，e）内均有零点
B．在区间（，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
D．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
答案 C
解析 由题意得f′（x）＝，令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；
f′（x）＝0得x＝3，故知函数f（x）在区间（0,3）上为减函数，在区间（3，＋∞）为增函数，在点x＝3处有极小值1－3＜0；
又f
（1）＝＞0，f（e）＝－1＜0，f（）＝＋1＞0.
9．设函数f（x）＝x3＋x2＋θ，其中θ∈[0，]，则导数f′
（1）的取值范围是（ ）
A．[－2,2]B．[，]
C．[，2]D．[，2]
解析 ∵f′（x）＝x2θ＋x·
θ，
∴f′
（1）＝θ＋θ＝2（θ＋θ）
＝2（θ＋）．
∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，
∴≤（θ＋）≤1.∴≤2（θ＋）≤2.
10．方程2x3－6x2＋7＝0在（0,2）内根的个数有（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析 令f（x）＝2x3－6x2＋7，
∴f′（x）＝6x2－12x＝6x（x－2），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜0；
由f′（x）＜0得0＜x＜2；
又f（0）＝7＞0，
f
（2）＝－1＜0，∴方程在（0,2）内只有一实根．
二、填空题
11．若曲线y＝＋x在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝.
答案 －1
解析 求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，
所以k＝－1.
12．已知函数f（x）＝－x3＋在区间（－1,1）上是增函数，则实数a的取值范围是．
答案 a≥3
解析 由题意应有f′（x）＝－3x2＋a≥0，在区间（－1,1）上恒成立，则a≥3x2，x∈（－1,1）恒成立，故a≥3.
13．在平面直角坐标系中，点P在曲线C：
y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为．
答案 （2,15）
解析 y′＝3x2－10＝2⇒x＝±
2，又点P在第二象限内，∴x＝－2，得点P的坐标为（－2,15）
14．函数f（x）＝x3＋2＋＋a2，在x＝1时有极值10，那么a，b的值分别为．
答案 4，－11
解析 f′（x）＝3x2＋2＋b，f′
（1）＝2a＋b＋3＝0，
f
（1）＝a2＋a＋b＋1＝10，
，，或，当a＝－3时，x＝1不是极值点，a，b的值分别为4，－11.
三、解答题
15．设<
a<
1，函数f（x）＝x3－2＋b（－1≤x≤1）的最大值为1，最小值为－，求常数a，b.
解 令f′（x）＝3x2－3＝0，
得x1＝0，x2＝a.
f（0）＝b，f（a）＝－＋b，f（－1）＝－1－a＋b，
f
（1）＝1－a＋b
因为<
1，所以1－a<
0，
故最大值为f（0）＝b＝1，
所以f（x）的最小值为f（－1）＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故a＝，b＝1.
16．若函数f（x）＝4x3－＋3在[－，]上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
解 f′（x）＝12x2－a，若f（x）在[－，]上为单调增函数，则f′（x）≥0在[－，]上恒成立，
即12x2－a≥0在[－，]上恒成立，
∴a≤12x2在[－，]上恒成立，∴a≤（12x2）＝0.
当a＝0时，f′（x）＝12x2≥0恒成立（只有x＝0时f′（x）＝0）．
∴a＝0符合题意．
若f（x）在[－，]上为单调减函数，
则f′（x）≤0，在[－，]上恒成立，
即12x2－a≤0在[－，]上恒成立，
∴a≥12x2在[－，]上恒成立，
∴a≥（12x2）＝3.
当a＝3时，f′（x）＝12x2－3＝3（4x2－1）≤0恒成立（且只有x＝±
时f′（x）＝0）．
因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.
17．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解
（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·
2π＝200π（元），底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为（200π＋160πr2）元．
又根据题意200π＋160πr2＝12000π，
所以h＝（300－4r2），
从而V（r）＝πr2h＝（300r－4r3）．
因为r>
0，又由h>
0可得r<
5，
故函数V（r）的定义域为（0,5）．
（2）因为V（r）＝（300r－4r3），
故V′（r）＝（300－12r2）．
令V′（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（因为r2＝－5不在定义域内，舍去）．
当r∈（0,5）时，V′（r）>
0，故V（r）在（0,5）上为增函数；
当r∈（5,5）时，V′（r）<
0，故V（r）在（5,5）上为减函数．
由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
17．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/时）的函数解析式可以表示为：
y＝x3－x＋8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（1）当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？
最少为多少升？
解
（1）当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5小时，
要耗油（×
403－×
40＋8）×
2.5＝17.5（升）．
（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，
依题意得h（x）＝（x3－x＋8）＝x2＋－（0＜x≤120），
h′（x）＝－＝（0＜x≤120）．
令h′（x）＝0，得x＝80.
当x∈（0,80）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（80,120）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．
∴当x＝80时，h（x）取到极小值h（80）＝11.25.
因为h（x）在（0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．
答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
18．已知函数f（x）＝x3－x－（a∈R，a≠0）．
（1）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意的x∈[1，＋∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．
解
（1）当a＝3时，f（x）＝x3－3x－，f
（1）＝0，
∴f′（x）＝x2－，∴f′
（1）＝－2，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程2x＋y－2＝0.
（2）f′（x）＝x2－＝（x＞0）．
①当a＜0时，f′（x）＝＞0恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）．
②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝或x＝－（舍）.
x
（0，）
（，＋∞）
f′（x）
－
＋
f（x）
减
极小值
增
∴函数f（x）的递增区间为（，＋∞），递减区间为（0，）
（3）对任意的x∈[1，＋∞），使f（x）≥0成立，只需对任意的x∈[1，＋∞），f（x）≥0.
①当a＜0时，f（x）在[1，＋∞）上是增函数，∴只需f
（1）≥0，而f
（1）＝－1－＝0，
∴a＜0满足题意，
②当0＜a≤1时，0＜≤1，f（x）在[1，＋∞）上是增函数，∴只需f
（1）≥0而f
（1）＝－1－＝0，
∴0＜a≤1满足题意；
③当a＞1时，＞1，f（x）在[1，]上是减函数，[，＋∞）上是增函数，∴只需f（）≥0即可，而f（）＜f
（1）＝0，∴a＞1不满足题意；
综上，a∈（－∞，0）∪（0,1]．
升级会员 