高中数学解题方法排列组合的常见题型及其解法Word文档下载推荐.docx

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第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：

（种）

二.相邻问题用捆绑法

对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：

即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例2.5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

解：

把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：

（种）。

三.相离问题用插空法

元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例3.7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？

先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：

四.定序问题用除法

对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

解题方法是：

先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。

例4.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？

不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：

（个）

五.分排问题用直排法

对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

例5.9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？

9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。

六.复杂问题用排除法

对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。

在应用此法时要注意做到不重不漏。

例6.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）

A.150种B.147种C.144种D.141种

从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。

第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；

第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；

第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：

七.多元问题用分类法

按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。

例7.已知直线中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。

（1）若c＝0，a，b各有3种取法，排除2个重复（，，），故有：

3×

3－2＝7（条）。

（2）若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：

4＝36（条）。

从而符合要求的直线共有：

7＋36＝43（条）

八.排列、组合综合问题用先选后排的策略

处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。

例8.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？

可分两步进行：

第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：

（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。

由分步计数原理得不同的分派方案共有：

因此共有36种方案。

九.隔板模型法

常用于解决整数分解型排列、组合的问题。

例9.有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？

6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：

浅谈数学填空题的解题方法

填空题题小，跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地综合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。

从填写内容上，主要有两类，一类是定量填写，另一类是定性填写。

要想又快又准地答好填空题，除直接推理外，还要讲究一些解题策略，下面谈谈几种解题方法，请大家教正。

一.定义法

有些问题直接去解很难奏效，而利用定义去解可以大大地化繁为简，速达目的。

例1.的值是_________________。

从组合数定义有：

又

代入再求，得出466。

例2.到椭圆右焦点的距离与到定直线x＝6距离相等的动点的轨迹方程是_______________。

据抛物线定义，结合图1知：

图1

轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数P＝2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：

二.直接计算法

从题设条件出发，选用有关定理、公式，直接计算求解，这是解填空题最常用的方法。

例3.设函数的定义域是[n，n+1]（），那么在f（x）的值域中共有____________个整数。

直接计算，可得个。

例4.等比数列，公比，则：

__________。

原式

三.数形结合法

有些问题可以借助于图示分析、判断、作出定形、定量、定性的结论，这就是图解法。

例5.函数的值域________________。

图2

原函数变为，可视上式为x轴上的点P（x，0）到两定点A（-2，-1）和B（2，2）的距离之和，如图2，则。

故值域为。

四.特例法

有的填空题答案是一个“定值”时，实质上有一种暗示作用，可以分析特殊数值，特殊位置，特殊数列，特殊图形等来确定这个“定值”，这种方法有时能起到难以置信的效果。

例6.面积为S的菱形绕其一边所在直线旋转一周所得旋转体的表面积为___________。

以正方形代替菱形，设边长为a，则表面

例7.已知是公差不为零的等差数形，若Sn是的前n项和，那么_________。

取符合条件的特殊数列，，则

故

五.观察法

运用特殊值，加上类比、观察常常可以提高解题速度。

例8.设，且，直线通过定点__________。

联合观察：

发现时，即满足条件，同时，相交直线的交点是唯一的。

故定点是（1，1）。

六.淘汰法

当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。

例9.已知，则与同时成立的充要条件是____________。

按实数b的正、负分类讨论。

当b>

0时，而等式不可能同时成立；

当b＝0时，无意义；

当b<

0时，若a<

0，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为a>

0，b<

0，容易验证，这确是所要求的充要条件。

七.分析推理法

通过仔细审题，对问题进行逻辑分析，然后推理出符合条件的答案。

例10.已知不等式的解集是A，的解集是B，则不等式组的解集是____________。

设g（x）的定义域为S，由于的解集是B，所以的解集是。

故所求不等式组的解集是。

总之，我们在平时训练时，要善于思考，分析题意，灵活运用有关数学知识，在有多种方案可以解决问题的时候，努力选择更合理的解题方案，要不断提高解题过程中合理性、简捷性的意识，以达到巧解妙算的效果，力求做到费时少，准确率高。

巧构造妙解题

1.直接构造

例1.求函数的值域。

由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f（x）的值域即为斜率的最大、最小值。

令，则表示单位圆

表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线的斜率。

显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即

所以

例2.已知三条不同的直线，，共点，求的值。

由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。

设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即

（*）

由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。

由韦达定理知

2.由条件入手构造

例3.已知实数x，y，z满足，求证：

由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。

构造一元二次方程

其中x，y为方程的两实根

即

故△＝0，即

3.由结论入手构造

例4.求证：

若，，则

待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。

所以左边

故原式得证。

例5.已知实数x，y满足，求证：

要证原式成立，即证

即证

由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以

故结论成立。