椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式 4Word格式文档下载.docx

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椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式

很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的,在变分过程中增加了未知函数导数的阶数.反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函,使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说,变分法最终寻求的是极值函数,它们使得泛函取得极大或极小值.变分原理在物理学中,尤其是力学中有着广泛运用,如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等,几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达.在当代变分已成为有限元法的理论基础,是求解边值问题的强力工具.

2椭圆型方程第一边值问题的变分形式

椭圆型方程第一边值问题：

其中是边界,是平面区域

定义：

在解决第一边值问题的变分形式的过程中,我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式,再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们需要考虑如下结果:

极小位能原理,虚功原理,格林第一公式.

格林第一公式：

是平面上的一有界区域，其边界为分段的光滑曲线，为曲线的单位外法向量，是沿的方向导数，则有:

（2.1.3）

（2.1.4）

其中是算符

极小位能原理:

设是边值问题（2.1.3），（2.1.4）的解，则使达到极小.,反之，若使达到极小，则是边值问题（2.1.3），（2.1.4）的解.

虚功原理:

设，则满足（2.1.3），（2.1.4）的充要条件是：

且对于任意满足变分方程，

.

2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理

（1）极小位能原理：

设为一特定函数，令，则得到（2.1），（2.2）的等价问题：

构造的二次泛函

在中，

运用格林第一公式

则

下面回到原问题

依据极小位能原理：

是下列变分问题的解,.

变分问题表述为：

求使

（是所有满足非齐次边值（2.2）的函数类构成的子空间）

对任意的,有.

证明:

以乘（2.1）的两端并在上积分，得

原问题的变分问题变为：

求，，满足变分方程，对任意的.

3椭圆型方程的第二边值问题

在求椭圆型方程第二边值问题的变分形式时,我们考虑如下模型方程.我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立方程第二边值问题的变分形式再运用虚功原理建立等价的变分形式.

就:

（3.1.1）

是平面上的一有界区域，其边界为分段的光滑曲线，为曲线的单位外法向量.在上满足第二边值条件

（3.1.2）

3.1建立第二边值条件的极小位能原理

取一特定函数，，令，则

先运用极小位能原理和虚功原理导出等价的变分问题，则得到（3.1.1），（3.1.2）的等价问题（3.1.2）

（3.1.3）

构造二次泛函:

其中,

其中，

又由格林第一公式知道

（3.1.6）

原问题的变分问题的变分形式为：

求，使得

对任意的,有

以乘（1.1）的两端并在上积分，得（3.2.1）

利用公式（1.2.3）及关于的边值条件（）（）得

定义双线性形式:

则（3.2.1）写成.

设，则由（3.1.6）得到，

则原问题的变分问题的变分形式还可以表述为：

求，，对任意

4椭圆型方程的第三边值问题：

在求椭圆型方程第三边值问题的变分形式时,我们考虑如下模型方程.我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立方程第三边值问题的变分形式再运用虚功原理建立等价的变分形式.

就（4.1.1）

是平面上的一有界区域，其边界为分段的光滑曲线，为曲线的单位外法向量，是沿的方向导数.在上满足第三边值条件

（4.1.2）

4.1建立第三边值条件等价的极小位能原理

取一特定函数，，令，则

则得到（3.3,1），（3,3,2）的等价问题

（4.1.3）

（4.1.4）

4.2建立第三边值条件等价的虚功原理

依据虚功原理，对任意的,有，

证明：

以乘（4.1.1）的两端并在上积分，得

（4.2.1）

利用公式（1.2.3）及关于的边值条件（4.1.2）得

.（4.1.3）

则（4.2.1）写成，

设，则由（4.1.3）得到

边值问题的另一变分形式是：

求，对任意的,使

结束语

经过两个多月的努力，论文终于完成在整个设计过程中，出现过很多的难题，但都在老师和同学的帮助下顺利解决了，在不断的学习过程中我体会到：

写论文是一个不断学习的过程，从最初刚写论文时对变分问题的模糊认识到最后能够对该问题有深刻的认识，我体会到实践对于学习的重要性，以前只是明白理论，没有经过实践考察，对知识的理解不够明确，通过这次的做，真正做到理论实践相结合。

总之，通过毕业设计,我深刻体会到要做好一个完整的事情，需要有系统的思维方式和方法，对待要解决的问题，要耐心、要善于运用已有的资源来充实自己。

同时我也深刻的认识到，在对待一个新事物时，一定要从整体考虑，完成一步之后再作下一步，这样才能更加有效.

参考文献

[1]李荣华.偏微分方程的数值解法[M]北京.高等教育出版社,2010.11:

P1--22

[3]刘世强.数学分析[M].广西.广西民族出版社，2006:

P125

致谢

在本文完成之际，无论我的论文是否能够真的运用，这里面每一个公式的书写，每一行语句的修改，每一段文本的输入之中都有我辛勤的汗水。

半年的设计时间虽然短暂，我却从中学到了很多的东西。

我由衷地感谢关怀、教诲、帮助、支持和鼓励我完成学业的老师、朋友和亲人。

特别感谢我的导师张现强老师，这小半年来他在学习、科研上一直对我悉心指导，严格要求、热情鼓励，为我创造了很多锻炼提高的机会。

张老师洞察全局、高屋建瓴，为我的论文的顺利完成指出了很好的方向，张老师渊博的知识、宽广无私的胸怀、夜以继日的工作态度、对事业的执著追求、诲人不倦的教师风范和对问题的敏锐观察力，都将使我毕生受益。

在此我谨向我的导师以及在毕业设计过程中给予我很大帮助的老师、同学们致以最诚挚的谢意！

数学计算机学院数学与运用数学师范专业2013届全欢欢

摘要：

.首先本文采用了极小位能原理和虚功原理建立椭圆型方程非齐次条件边值问题等价的变分形式，随后我们采用类似方法讨论了椭圆型方程非齐次条件边值问题及混合型边值条件的变分问题.

关键词：

椭圆型方程非齐次边值问题变分形式

中图分类号:

O172

VariationalofEllipticEquationsWithNonhomogeneousBoundaryConditions

Abstract:

Inthispaper,wefirstapplyPrincipleofminimumpotentialenergyandPrincipleofvirtualworktoestablishtheformalationofEllipticEquationswithnonhomogeneousDirchlt.Then,inthesimilarway,weextendtheresultstothecaseofmixedD/N.

Keywords：

Ellipticequations

Non-homogeneousboundaryConditions

Thevariationalform