广东省新高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》专题高考中的三角函数与解三角形问题Word下载.docx
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（2）由
（1）知f（x）＝2sin
－1，
把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y＝2sin
－1的图象，
再把得到的图象向左平移
个单位长度，
得到y＝2sinx＋
即g（x）＝2sinx＋
所以g
＝2sin
－1＝
思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．
跟踪训练1已知函数f（x）＝5sinxcosx－5
cos2x＋
（其中x∈R），求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．
解
（1）因为f（x）＝
sin2x－
（1＋cos2x）＋
＝5
＝5sin
，
所以函数的最小正周期T＝
＝π.
（2）由2kπ－
所以函数f（x）的单调递增区间为
由2kπ＋
得kπ＋
所以函数f（x）的单调递减区间为
（3）由2x－
＝kπ＋
（k∈Z），得x＝
所以函数f（x）的对称轴方程为x＝
由2x－
＝kπ（k∈Z），得x＝
所以函数f（x）的对称中心为
题型二 解三角形
例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋
cosA＝0，a＝2
，b＝2.
（1）求角A和边长c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解
（1）∵sinA＋
cosA＝0，
∴tanA＝－
又0<
A<
π，∴A＝
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，
即28＝4＋c2－2×
2c×
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6（舍去）或c＝4，故c＝4.
（2）∵c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴16＝28＋4－2×
2
×
2×
cosC，
∴cosC＝
，∴CD＝
BC，
∴S△ABC＝
AB·
AC·
sin∠BAC＝
4×
∴S△ABD＝
S△ABC＝
思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；
在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．
跟踪训练2（2017·
北京）在△ABC中，∠A＝60°
，c＝
a.
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
解
（1）在△ABC中，因为∠A＝60°
a，
所以由正弦定理得sinC＝
（2）因为a＝7，所以c＝
7＝3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得
72＝b2＋32－2b×
3×
解得b＝8或b＝－5（舍去）．
所以△ABC的面积S＝
bcsinA＝
8×
＝6
题型三 三角函数和解三角形的综合应用
例3（2018·
南通考试）如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝2
米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：
点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF<
BE.设∠BEF＝θ，四边形ABEF的面积为f（θ）（单位：
平方米）．
（1）求f（θ）关于θ的函数关系式，求出定义域；
（2）当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．
解
（1）过点F作FM⊥BE，垂足为M.
在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝
，∠FEM＝θ，
所以EF＝
，ME＝
故AF＝BM＝EF－EM＝
－
所以f（θ）＝
（AF＋BE）×
AB
2＝
由题意可知，AF<
BE，所以θ<
且当点E重合于点C时，EF＝EB＝2
，FM＝2，θ＝
所以函数f（θ）＝
的定义域为
（2）由
（1）可知，
f（θ）＝
＝3tan
≥2
当且仅当3tan
时，等号成立，
又θ∈
∈
故当tan
，即
，θ＝
时，四边形ABEF的面积最小，
此时BE＝
，AF＝
，f（θ）＝
答 当BE，AF的长度分别为
米，
米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为2
平方米．
思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．
跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB－bcosC＝ccosB.
（1）判断△ABC的形状；
（2）若f（x）＝
cos2x－
cosx＋
，求f（A）的取值范围．
解
（1）因为asinB－bcosC＝ccosB，
由正弦定理可得sinAsinB－sinBcosC＝sinCcosB.
即sinAsinB＝sinCcosB＋cosCsinB，
所以sin（C＋B）＝sinAsinB.
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinA＝sinAsinB，
又sinA≠0，所以sinB＝1，B＝
所以△ABC为直角三角形．
（2）因为f（x）＝
＝cos2x－
cosx＝
2－
所以f（A）＝
因为△ABC是直角三角形，
所以0<
，且0<
cosA<
1，
所以当cosA＝
时，f（A）有最小值－
所以f（A）的取值范围是
1.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）
的部分图象如图．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）在区间
上的最值，并求出相应的x值．
解
（1）由题干图象可知|A|＝2，
又A>
0，故A＝2.
周期T＝
＝π，
又T＝
＝π，∴ω＝2.∴f（x）＝2sin（2x＋φ），
由题干图象知f
＝2，
∴
＋φ＝
＋2kπ，k∈Z，φ＝－
＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<
，∴φ＝－
，故f（x）＝2sin
（2）∵x∈
，∴2x－
∴sin
，2sin
∈[－1，2].
当2x－
，即x＝
时，f（x）取得最大值，
f（x）max＝f
＝2.
＝－
，即x＝0时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（0）＝－1.
2．（2018·
天津联考）设函数f（x）＝2tan
·
cos2
－2cos2
＋1.
（1）求f（x）的定义域及最小正周期．
（2）求f（x）在[－π，0]上的最值．
解
（1）f（x）＝2sin
cos
－cos
＝sin
sin
sin
由
≠
＋kπ（k∈Z），
得f（x）的定义域为{x|x≠2π＋4kπ（k∈Z）}，
故f（x）的最小正周期为T＝
＝4π.
（2）∵－π≤x≤0，∴－
≤
≤－
∴当
即x∈
时，f（x）单调递减，
当
时，f（x）单调递增，
∴f（x）min＝f
又f（0）＝－
，f（－π）＝－
∴f（x）max＝f（0）＝－
3.已知函数f（x）＝sin
＋sin
，x∈R（其中ω>
0）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数y＝f（x）的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为
，求函数y＝f（x）的单调递增区间．
解
（1）f（x）＝
sinωx＋
cosωx＋
sinωx－
cosωx－（cosωx＋1）
－1＝2sin
由－1≤sin
≤1，得－3≤2sin
－1≤1，
所以函数f（x）的值域为[－3,1]．
（2）由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y＝f（x）的周期为π，所以
＝π，即ω＝2.
所以f（x）＝2sin
再由2kπ－
解得kπ－
所以函数y＝f（x）的单调递增区间为
4．已知点P（
，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）＝
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解
（1）由已知，得
＝（
，1），
－cosx,1－sinx），
所以f（x）＝
＝3－
cosx＋1－sinx
＝4－2sin
所以函数f（x）的最小正周期为2π.
（2）因为f（A）＝4，所以sin
＝0，
π，所以
<
A＋
，A＝
因为BC＝3，
所以由正弦定理，得AC＝2
sinB，AB＝2
sinC，
所以△ABC的周长为3＋2
sinB＋2
sinC
＝3＋2
因为0<
B<
，所以
B＋
所以当B＋
，即B＝
时，
△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2
5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋
asinC－b－c＝0.
（1）求A；
（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝
，AD＝
，求△ABC的面积．
解
（1）acosC＋
asinC－b－c＝0，
由正弦定理得sinAcosC＋
sinAsinC＝sinB＋sinC，
即sinAcosC＋
sinAsinC＝sin（A＋C）＋sinC，
亦即sinAcosC＋
sinAsinC
＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinC，
则
sinAsinC－cosAsinC＝s
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