导数题型大全利用导数求极值最值Word文件下载.docx

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2时,f′(x)<

0,函数f(x)单调递减,所以函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞),故A错误.当x=2时函数取得极大值,故B正确.当x=-4时函数无极值,故C错误.只有当x=2时函数取得极大值,故D错误.

故选B.

考点二:

导数的最值问题

已知函数f(x)=2x3-ax2+b.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?

若存在,求出a,b的所有值;

若不存在,说明理由.

【答案】

(1)a>0时,f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减.a=0时,f(x)在(-∞,+∞)单调递增.a<0时,f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.

(2)当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.

【解析】

(1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

令f′(x)=0,得x=0或x=.

若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f′(x)>0;

当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减.

若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增.

若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f′(x)>0;

当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.

(2)满足题设条件的a,b存在.

(ⅰ)当a≤0时,由

(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f

(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.

(ⅱ)当a≥3时,由

(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f

(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.

(ⅲ)当0<a<3时,由

(1)知,f(x)在[0,1]的最小值为=-+b,最大值为b或2-a+b.

若-+b=-1,b=1,则a=3,与0<a<3矛盾.

若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0<a<3矛盾.

综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.

已知函数f(x)=-lnx.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).

(1)f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

(2)f(x)在上的最大值为0,最小值为2-e.

(1)f(x)=-lnx=1--lnx,f(x)的定义域为(0,+∞).

因为f′(x)=-=,所以f′(x)>0⇒0<

x<

1,f′(x)<

0⇒x>1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

(2)由

(1)得f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减,

所以f(x)在上的极大值为f

(1)=1--ln1=0.

又=1-e-ln=2-e,f(e)=1--lne=-,且<

f(e).

所以f(x)在上的最大值为0,最小值为2-e.

考点三:

导数极值、最值的综合问题

设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.若f(x)在x=2处取得极小值,则a的取值范围为_______.

【解析】 f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex,

若a>

,则当x∈时,f′(x)<

0;

当x∈(2,+∞)时,f′(x)>

0.

所以f(x)在x=2处取得极小值.

若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<

0,ax-1≤x-1<

0,

所以f′(x)>

所以2不是f(x)的极小值点.

综上可知,a的取值范围是.

已知函数f(x)=ex-ax,a>

(1)记f(x)的极小值为g(a),求g(a)的最大值;

(2)若对任意实数x,恒有f(x)≥0,求f(a)的取值范围.

(1)1

(2)(1,ee-e2].

(1)函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),f′(x)=ex-a.

令f′(x)=0,得x=lna,

易知当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>

0,当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<

所以函数f(x)在x=lna处取极小值,

g(a)=f(x)极小值=f(lna)=elna-alna=a-alna.

g′(a)=1-(1+lna)=-lna,

当0<

a<

1时,g′(a)>

0,g(a)在(0,1)上单调递增;

当a>

1时,g′(a)<

0,g(a)在(1,+∞)上单调递减.

所以a=1是函数g(a)在(0,+∞)上的极大值点,也是最大值点,所以g(a)max=g

(1)=1.

(2)显然,当x≤0时,ex-ax≥0(a>

0)恒成立.

0时,由f(x)≥0,即ex-ax≥0,得a≤.

令h(x)=,x∈(0,+∞),

则h′(x)==,

1时,h′(x)<

0,当x>

1时,h′(x)>

故h(x)的最小值为h

(1)=e,所以a≤e,

故实数a的取值范围是(0,e].

f(a)=ea-a2,a∈(0,e],f′(a)=ea-2a,

易知ea-2a≥0对a∈(0,e]恒成立,

故f(a)在(0,e]上单调递增,所以f(0)=1<

f(a)≤f(e)=ee-e2,即f(a)的取值范围是(1,ee-e2].

典型题三综合练习

1.(2020·

辽宁沈阳一模)设函数f(x)=xex+1,则(  )

A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点

C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点

2.已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,给出下列判断:

①函数y=f(x)在区间内单调递增;

②当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值;

③函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增;

④当x=3时,函数y=f(x)有极小值.

则上述判断正确的是(  )

A.①②B.②③

C.①②④D.③④

3.(2020·

东莞模拟)若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则(  )

A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1

C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0

4.(2020·

广东惠州4月模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=x·

f′(x)的图象可能是(  )

5.(2020·

河北石家庄二中期末)若函数f(x)=(1-x)(x2+ax+b)的图象关于点(-2,0)对称,x1,x2分别是f(x)的极大值点与极小值点,则x2-x1=(  )

A.-B.2

C.-2D.

6.已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为(  )

A.[-3,+∞)B.(-3,+∞)

C.(-∞,-3)D.(-∞,-3]

7.(2020·

郑州质检)若函数y=f(x)存在n-1(n∈N*)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为(  )

A.2折函数B.3折函数

C.4折函数D.5折函数

8.(2020·

昆明市诊断测试)已知函数f(x)=(x2-m)ex,若函数f(x)的图象在x=1处切线的斜率为3e,则f(x)的极大值是(  )

A.4e-2        B.4e2

C.e-2D.e2

9.已知函数f(x)=2ef′(e)lnx-(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为(  )

A.2e-1B.-

C.1D.2ln2

10.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是(  )

A.[-5,0)B.(-5,0)

C.[-3,0)D.(-3,0)

典型题三答案与解析

1.【答案】D.

【解析】:

由f(x)=xex+1,可得f′(x)=(x+1)ex,令f′(x)>

0可得x>

-1,即函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数;

令f′(x)<

0可得x<

-1,即函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数,所以x=-1为f(x)的极小值点.故选D.

2.【答案】B.

对于①,函数y=f(x)在区间内有增有减,故①不正确;

对于②,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故②正确;

对于③,当x∈(-2,2)时,恒有f′(x)>

0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故③正确;

对于④,当x=3时,f′(x)≠0,故④不正确.

3.【答案】A 

【解析】∵f(x)=ax+lnx,x>0,

∴f′(x)=a+,

由f′

(1)=0得a=-1,

∴f′(x)=-1+=.

由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1,

∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

∴f(x)极大值=f

(1)=-1,无极小值,故选A.

4.【答案】C.

因为函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,所以当x>

-2时,f′(x)>

当x=-2时,f′(x)=0;

当x<

-2时,f′(x)<

所以当-2<

0时,xf′(x)<

当x=-2时,xf′(x)=0;

-2时,xf′(x)>

0.故选C.

5.【答案】C.

由题意可得f(-2)=3(4-2a+b)=0,

因为函数图象关于点(-2,0)对称,且f

(1)=0,

所以f(-5)=0,

即f(-5)=6(25-5a+b)=0,

联立解得

故f(x)=(1-x)(x2+7x+10)=-x3-6x2-3x+10,

则f′(x)=-3x2-12x-3=-3(x2+4x+1),

结合题意可知x1,x2是方程x2+4x+1=0的两个实数根,且x1>

x2,

故x2-x1=-|x1-x2|=-=-=-2.

6.【答案】D 

【解析】由题意知f′(x)=3x2+6x-9,令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:

x

(-∞,-3)

-3

(-3,1)

1

(1,+∞)

f′(x)

f(x)

极大值

极小值

又f(-3)=28,f

(1)=-4,f

(2)=3

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