当x>时,h(x)>0,h(x)在(0,)上递增。
所以x>是h(x)在(0,+∞)上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点。
所以Φ (a)=h()=2a-aln=2
Ⅱ当a ≤ 0时,h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。
故h(x)的最小值Φ (a)的解析式为2a(1-ln2a)(a>o)
(3)由
(2)知Φ (a)=2a(1-ln2a)
则Φ 1(a)=-2ln2a,令Φ 1(a)=0解得a=1/2
当00,所以Φ (a)在(0,1/2)上递增
当a>1/2时,Φ 1(a)<0,所以Φ(a)在(1/2,+∞)上递减。
所以Φ(a)在(0,+∞)处取得极大值Φ(1/2)=1
因为Φ(a)在(0,+∞)上有且只有一个极致点,所以Φ(1/2)=1也是Φ(a)的最大值
所当a属于(0,+∞)时,总有Φ(a) ≤ 1
(2010辽宁文数)(21)(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设,证明:
对任意,.
解:
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+),.
当a≥0时,>0,故f(x)在(0,+)单调增加;
当a≤-1时,<0,故f(x)在(0,+)单调减少;
当-1<a<0时,令=0,解得x=.当x∈(0,)时,>0;
x∈(,+)时,<0,故f(x)在(0,)单调增加,在(,+)单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.
所以等价于
≥4x1-4x2,
即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
=.
于是≤=≤0.
从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1)≤g(x2),
即 f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2,故对任意x1,x2∈(0,+),.
(2010辽宁理数)(21)(本小题满分12分)
已知函数
(I)讨论函数的单调性;
(II)设.如果对任意,,求的取值范围。
解:
(Ⅰ)的定义域为(0,+∞)..
当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;
当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;
当-1<<0时,令=0,解得.
则当时,>0;时,<0.
故在单调增加,在单调减少.
(Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而
,
等价于
,①
令,则
①等价于在(0,+∞)单调减少,即
.
从而
故a的取值范围为(-∞,-2].……12分
(2010全国卷2文数)(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x-3ax+3x+1。
(Ⅰ)设a=2,求f(x)的单调期间;
(Ⅱ)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用,主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
(1)求出函数的导数,由导数大于0,可求得增区间,由导数小于0,可求得减区间。
(2)求出函数的导数,在(2,3)内有极值,即为在(2,3)内有一个零点,即可根据,即可求出A的取值范围。
(2010江西理数)19.(本小题满分12分)
设函数。
(1)当a=1时,求的单调区间。
(2)若在上的最大值为,求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解:
对函数求导得:
,定义域为(0,2)
(1)单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时,令
当为增区间;当为减函数。
(2)区间上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比较得到,确定
待定量a的值。
当有最大值,则必不为减函数,且>0,为单调递增区间。
最大值在右端点取到。
。
(2010安徽文数)20.(本小题满分12分)
设函数,,求函数的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】
(1)对函数求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于0得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值.
【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为0得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点.
(2010重庆文数)(19)(本小题满分12分),(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性,并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.
(2010浙江文数)(21)(本题满分15分)已知函数(a-b)
(I)当a=1,b=2时,求曲线在点(2,)处的切线方程。
(II)设是的两个极值点,是的一个零点,且,
证明:
存在实数,使得按某种顺序排列后的等差数列,并求
(2010重庆理数)(18)(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分)
已知函数其中实数。
(I)若a=-2,求曲线在点处的切线方程;
(II)若在x=1处取得极值,试讨论的单调性。
(2010山东文数)(21)(本小题满分12分)
已知函数
(I)当时,求曲线在点处的切线方程;
(II)当时,讨论的单调性.
(2010北京文数)(20)(本小题共13分)
已知集合对于,,定义A与B的差为
A与B之间的距离为
(Ⅰ)当n=5时,设,求,;
(Ⅱ)证明:
,且;
(Ⅲ)证明:
三个数中至少有一个是偶数
(Ⅰ)解:
=(1,0,1,0,1)
=3
(Ⅱ)证明:
设
因为,所以
从而
由题意知
当时,
当时,
所以
(Ⅲ)证明:
设
记由(Ⅱ)可知
所以中1的个数为k,中1的个数为
设是使成立的的个数。
则
由此可知,三个数不可能都是奇数
即三个数中至少有一个是偶数。
(2010北京理数)(18)(本小题共13分)
已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,
(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求()的单调区间。
解:
(I)当时,,
由于,,
所以曲线在点处的切线方程为
即
(II),.
当时,.
所以,在区间上,;在区间上,.
故得单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,由,得,
所以,在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是.
当时,
故得单调递增区间是.
当时,,得,.
所以没在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是
(2010四川理数)(22)(本小题满分14分)
设(且),g(x)是f(x)的反函数.
(Ⅰ)设关于的方程求在区间[2,6]上有实数解,求t的取值范围;
(Ⅱ)当a=e(e为自然对数的底数)时,证明:
;
(Ⅲ)当0<a≤时,试比较与4的大小,并说明理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考察化归、分类整合等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解:
(1)由题意,得ax=>0
故g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)
由得