北约自主招生数学试题及详解年文档格式.docx
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（00g=,当02
时,2
1（10
cosgxx
'
=
->
.于是（gx在02
上单调增。
∴在02
上有（（00gxg>
=。
即tanxx>
。
注记:
也可用三角函数线的方法求解.
2.AB为边长为1的正五边形边上的点.证明:
AB
2
（25分
【解析】以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,建立如图所示的平面
直角坐标系.
⑴当,AB中有一点位于P点时,知另一点位于1R或者2R时有最大值为1PR;
当有一点位于O点时,1
max
OPPR=<
;
⑵当,AB均不在y轴上时,知,AB必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点A'
有ABAB'
不妨设A位于线段2OR上（由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的,则使AB最大的B点必位于线段PQ上.且当B从P向Q移动时,AB先减小后增大,于是max
APAQ
=或;
对于线段PQ上任意一点B,都有2BRBA≥.于是
22max
RPRQ
==
由⑴,⑵知2max
RP
=.不妨设为x.
下面研究正五边形对角线的长.
HF
E
1
x-1
如右图.做EFG∠的角平分线FH交EG于H.易知5
EFHHFGGFIIGFFGHπ∠=∠=∠=∠=∠=.
于是四边形HGIF为平行四边形.∴1HG=.
由角平分线定理知11
EFEHxFG
xHG
===
-
.解得2x=.
3.AB为21yx=-上在y轴两侧的点,求过AB的切线与x轴围成面积的最小值.（25分【解析】不妨设过A点的切线交x轴于点C,过B点的切线交x轴于点D,直线AC与直线
BD相交于点E.如图.设1122（,,（,BxyAxy,且有222211121,1,0yxyxxx=-=->
>
.由于2yx'
=-,
于是AC的方程为2222xxyy=--;
①BD的方程为1122xxyy=--.②联立,ACBD的方程,解得121221（,12（yyExxxx---.
对于①,令0y=,得22
2（,02yCx-;
对于②,令0y=,得11
2（,0
2yDx-.
于是2
12121
22112222yyxxCDxxxx--++=
121（12
ECDSCDxx∆=
-.不妨设10
xa=>
20xb-=>
则
22
111111（（1（2244ECDabSabababababab∆++=++=+++++
1111（（2（244ababababab
=+++⋅++≥③
0s=>
则有
3
1111
111
（2（.....2
3399ECDSssssss
ss∆=
++
+
+++++
6个9个
1243
6
916
16
16]
8（
93
sss
⋅⋅[⋅（
⋅（=⋅
≥3
21
83=⋅（=
④
又由当123
xaxbs==
=-=-
∴min（ECDS∆=
不妨设3
11（（22gssss
=++
事实上,其最小值也可用导函数的方法求解.
由2
11（（322
gsss
+-
知当2
103
s<
时（0gs'
当21
则（gs在（0,3
上单调减,在
+∞上单调增.于是当3
s=
（gs取得最小值.
4.向量OA与OB已知夹角,1OA=,2OB=,（1OPtOA=-,OQtOB=,01t≤≤.PQ在0t时取得最小值,问当0105
t<
时,夹角的取值范围.（25分
【解析】不妨设OA,OB夹角为α,则1,2OPtOQt=-=,令
（（142（12cosgtPQ
ttttα==-+-⋅-⋅2
（54cos（24cos1ttαα=++--+.
其对称轴为12cos54costαα+=+.而12（54xfxx
+=
+在5（,4-+∞上单调增,故12cos1154cos3
αα
+-+≤
≤
当12cos1054cos3
αα++≤
≤时,012cos1（0,
54cos5
tαα
∈+,解得
223
αππ<
当12cos1054cosα
α
+-<
+≤
时,（gt在[0,1]上单调增,于是00t=.不合题意.
于是夹角的范围为2[,]2
3ππ.
5.（仅理科做存不存在02
使得sin,cos,tan,cotxxxx为等差数列.（25分
【解析】不存在;
否则有（cossin（cossin
cossincottansincosxxxxxxxxxx
-+-=-=,
则cossin0xx-=或者cossin1sincosxxxx+=.
若cossin0xx-=,有4
xπ=1,122
不成等差数列;
若cossin1sincosxxxx
有2（sincos12sincosxxxx=+.解得有sincos1xx=±
而11sincossin2（0,
]2
xxx=∈,矛盾!
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