信号与系统课设基于matlab的信号合成与分解.docx

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信号与系统课设基于matlab的信号合成与分解

摘要

为了便于进行周期信号的分析与处理，常要把复杂的周期信号进行分解，即将周期信号分解为正余弦等此类基本信号的线性组合，通过对这些基本信号单元在时域和频域特性的分析来达到了解信号特性的目的。

本文主要阐述了傅立叶级数的推演过程，从而得出周期信号的分解与合成的基本原理。

并利用Matlab仿真软件强大的数值分析和图形功能来对周期方波信号与周期三角波信号的分解与合成进行演示，直观明了的观察周期信号分解与合成过程、周期信号的对称性与谐波成分的关系，以及对其中的误差程度和吉布斯现象做定量的分析，从而可以进行仿真结果与理论分析结论的对比，加深了对周期连续信号分解与合成的理解，描述了傅立叶级数分解合成信号的实现性，同时也展示了用MATLAB编写周期连续信号分解与合成的演示程序的优点

关键词：

周期信号；分解；合成；吉布斯现象

Abstract

Inordertofacilitatetheperiodicsignalanalysisandprocessing,oftenmakecomplicatedcycleofsignaldecomposition,periodicsignalwillbedecomposedintosineandcosinesignalsandothersuchbasiclinearcombinationofthesebasicsignalsthroughtheunitinthetimedomainandfrequencydomaincharacteristicsanalysisofsignalcharacteristicstoachievethepurposeofunderstanding.ThisarticlefocusesontheFourierseriestotheinferenceprocesstoarriveatperiodicsignaldecompositionandcompositionofthebasicprinciples.Matlabsimulationsoftwareusingthepowerfulnumericalanalysisandgraphicalcapabilitiesoftheperiodicsquarewavesignalandtheperiodictriangularwavesignaldecompositionandsynthesisofpresentationsandintuitivetounderstandtheobservationperiodsignaldecompositionandsynthesisprocess,periodicsignalandharmoniccomponentsofthesymmetryrelations,andtheerrorofwhichtheextentandquantitativeanalysisoftheGibbsphenomenon,whichcanmakethesimulationresultsandtheoreticalanalysiscomparingthecycleofcontinuousdeepeningoftheunderstandingofsignaldecompositionandcomposition,Fourierseriesdescribesthesynthesisofsignaldecompositionimplementation,whilealsodemonstratedthepreparationofperiodiccontinuoussignalusingMATLABdecompositionandsynthesisoftheadvantagesofthedemonstrationprogram

Keywords:

Periodicsignal;Decomposition;Synthesis;Gibbsphenomenon

目录

1绪论.1

2信号的分解与合成.2

2.1信号分解为正交函数2

2.1.1正交函数集2

2.1.2信号分解为正交函数3

2.2周期信号的信号分解与合成5

2.2.1周期连续信号的特点6

2.2.2周期为T的信号的三角形式傅里叶级数表示的一般形式6

3MATLAB的仿真实现.8

3.1基于MATLAB方波信号的分解与合成8

3.1.1方波信号的傅立叶级数8

3.1.2方波信号的分解仿真9

3.1.3方波信号的合成仿真10

3.1.4方波信号的频谱11

3.1.5方波信号的误差分析12

3.1.6吉布斯现象13

3.2基于MATLAB三角波信号的分解与合成13

3.2.1三角波的傅立叶级数13

3.2.2三角波的分解仿真15

3.2.3三角波的合成仿真15

3.2.4三角波的频谱17

3.2.5三角波的误差分析18

3.3结论18

参考文献20

附录21

谢辞25

1绪论

信号是携带信息的、随时间或空间变化的物理量或物理现象，是信息的载体与表现形式，如声信号、光信号、电信号等。

在数学上，信号总是一个或者多个独立变量的函数，它包含了某个或某些物理现象性质的信息。

信息不同的物理形态并不影响他们所包含的信息内容，不同物理形态的信号之间相互转换。

在各种信号中，电信号是一种最便于传输、控制与处理的信号；同时，实际运用中的许多非电信号，如压力、流量、速度、转矩、位移等，都可以通过适当的传感器变换成电信号，因此对电信号的研究具有重要的意义。

研究信号是为了对信号进行处理和分析，信号处理是对信号进行某些加工或变换，目的是提取有用的部分，去掉多余的部分，滤除各种干扰和噪声，或将信号进行转化，便于分析和识别。

信号的特性可以从时间特性和频率特性两方面进行描述，并且信号可以用函数解析式表示（有时域的，频域的及变化域的），也可用波形或频谱表示。

信号分析通过研究信号的描述、运算、特性以及信号发生某些变化时其特性相应的变化，来揭示信号自身的时域特性、频域特性等。

信号分析的主要途径是研究信号的分解，即将信号分解为某些基本信号的线性组合，通过对这些基本信号单元在时域和频域特性的分析来达到了解信号特性的目的。

信号的分解可以在时域、频域或变换域中进行，分别用到信号分析的时域方法（timedomainanalysis）、频域方法（frequencydomainanalysis）和变换域方法（transformdomainanalysis）。

系统是若干相互依赖、相互作用的事物组合而成的、具有特定功能的整体。

系统可以是物理系统，例如通信系统、自动控制系统、导航系统等；也可以是非物理系统，例如生产管理、司法等社会经济与管理方面的系统。

系统分析的主要任务是分析系统对指定激励所产生的影响。

其分析过程主要包括建立系统模型，根据模型建立系统的方程，求解出系统的响应，必要时对解得的结果给出物理解释。

系统分析是系统综合与系统诊断的基础。

LTI系统各种分析方法的理论基础是信号的分解特性与系统的线性、时不变特性，其出发点是：

激励信号可以分解为若干基础信号单元的线性组合；系统对激励所产生的零状态响应是系统对各基本信号单元分别激励下响应的叠加。

信号的分解与合成是信号与线性系统课程中最重要的内容之一。

任何满足狄里赫利条件的周期信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波叠加而成的。

对周期信号由它的傅立叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。

而非周期信号包括了从零到无穷大的所有频率成分，每一个频率成分的幅度均趋向无穷小，但其相对大小式不同的。

MATLAB具有以下五个特点：

1.运算功能强大。

MATLAB是以矩阵为基本编程编程元素的程序设计语言，它的数值运算要素不是单个数据，而是矩阵，每个变量代表一个矩阵，矩阵由m乘n个元素，每个元素都可看做复数，所有的运算包括加、减、乘、除、函数运算等都对矩阵和复数有效；另外，通过MATLAB的符号工具箱，可以解决在数学、应用科学和工程计算领域中常常遇到的符号计算问题，强大的运算功能使其成为世界顶尖的数学应用软件之一。

2.编程效率高。

MATLAB的语言规则与笔算式相似，矩阵的行数无需定义，MATLAB的命令表达方式与标准的数学表达式非常相近，因此，易写易读并易于在科技人员之间交流。

MATLAB是以解释方式工作的，即它对每条语句解释后立即执行，键入算式无需编译立即得出结果，若有错误也立即做出反应，便于编程者立即更正。

这些都大大减少了编程和调试的工作量，提高了编程的效率【1】。

3.强大而智能化的作图功能。

MATLAB可以方便地用图形显示二维或三维数组，将工程计算的结果可视化，使数据间的内在联系明晰了。

MATLAB能智能化地根据输入的数据自动确定最佳坐标，可规定多种坐标系（如极坐标系、对数坐标系），可设置不同颜色、线型、视角等。

4.可扩展性强。

MATLAB由一套程序扩展系统和工具箱，具有良好的可扩展性。

工具箱是MATLAB函数的子程序库，每个工具箱都有为某个学科领域的应用而制定的，MATLAB每年都会增加一些新的工具箱【2】。

5.Simulink动态仿真功能。

Simulink是一个交互式动态系统建模、仿真和分析图形环境，用户通过框图的绘制来模拟一个系统，Simulink能够针对控制系统、信号处理和通信系统等进行系统建模、仿真和分析【3】。

正因为如此，利用仿真软件MATLAB来对信号的分解与合成十分方便有效。

2信号的分解与合成

2.1信号分解为正交函数

2.1.1正交函数集【4】

如有定义在（）区间两个函数和，若满足

则称和在区间（）内正交。

如有个函数构成一个函数集，当这些函数在区间（）内满足

（2.1-1）

式中为常数，则称此函数集为在区间（）的正交函数集。

在区间（）内相互正交的个函数构成正交信号空间。

如果在正交函数集{}之外，不存在函数满足等式

（2.1-2）

则此函数集称为完备正交函数集。

也就是说，如能找到一个函数，使得式（2.1-2）成立，即与函数集{}的每一个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。

显然，不包含的集式不完备的。

例如，三角函数集{}在区间组成正交函数集，而且是完备的正交函数集。

这是因为

（2.1-3a）

（2.1-3b）

（2.1-3c）

即三角函数集满足正交特性式（2.1-1），因而是正交函数集。

2.1.2信号分解为正交函数

设有个函数在区间构成一个正交函数空间。

将任一函数用这个正交函数的线性组合来近似，可表示为

（2.1-4）

这里的问题是：

如何选择才能得到最佳近似。

显然，应选取个系数使实际函数与近似函数之间误差在区间内为最小。

这里“误差最小”不是平均误差最小，因为在平均误差最小甚至等于零的情况下，也可能有较大的正误差和负误差在平均过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。

通常选择误差均方值（或称为方均值）最小，这时，可以认为已经得到了最好的近似。

误差的均方值也称为均方误差，用符号表示

（2.1-5）

在中，为球的使均方误差最小的第个系数，必须使

即

（2.1-6）

展开上式的被积函数，注意到有序号不同的正交函数相乘的各项，其积分均为零，而且所有不包含的各项对求导也等于零。

这样，式（2.1-6）中只有两项不为零，它可以写为

交