高中数学选修2-2知识总结.doc

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选修2-2基本知识、方法考点总结

一、导数复习：

1.平均变化率:

函数的平均变化率

注1：

其中是自变量的改变量，可正，可负，但不可零。

注2：

函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2.函数的瞬时变化率

注1：

当存在极限时，极限值叫做瞬时变化率，并把这个变化率叫做导数，即：

或记作注2：

函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度

3.导数定义：

导数概念易考，所以必须理解

4.八个求导公式：

函数

导函数

不定积分

强记

强记

符号不要忘记

5.导数的几种应用：

（1）求曲线在某点的切线斜率及其切线方程（分两类）:

曲线在点处的切线方程为：

y-f（x0）=f¢（x0）（x-x0）

曲线过点（m,n）的切线方程：

设切点为®表达出y-f（x0）=f¢（x0）（x-x0）®代入点（m,n）®求出x0®f（x0）及f¢（x0）®最后代入y-f（x0）=f¢（x0）（x-x0）即可

（2）求单调区间:

解得增区间，解得减区间（注意：

单调区间一定写成区间形式，且不能并起来）

（3）已知函数单调性求参数范围（单调性的逆向问题）：

首先转换成恒成立问题（等号不能少）；再分离参数于一端，求另一端的最值。

附：

常见最值求法：

换元法（千万注意新元范围），二次函数值域问题（画图分析），均值不等式，分离常数思想

（4）求极值、最值:

（最值定理：

连续函数在闭区间上一定有最大、最小值）求极值和最值的过程都需要画表格，切记【优点：

明确变化状态表的地位，认识变化状态表的重要性—一表在手，性质全有】；

（5）证明不等式、比较大小:

证明f（x）>g（x）先构造函数F（x）=f（x）-g（x）只需证F（x）min>0

二、积分复习（导数的逆运算）

1、积分定义：

。

此时称函数在区间上可积。

【其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限，叫做被积式】

2、常见的导数和定积分运算公式：

若，均可导（可积），则有：

和差的导数运算

积的导数运算

特别地：

商的导数运算

（记准了）

特别地：

复合函数的导数

（易错处）对两层复合必须熟悉，能口算

和差的积分运算

特别地：

积分的区间可加性

3、微积分基本定理：

如果，且在上可积，则

，

【其中叫做的一个原函数，因为】关键在于正确利用求导公式寻求被积函数的一个原函数

4定积分的应用

（1）用积分的几何意义求面积：

基本步骤为①画图形②求交点③写积分④算面积注意：

根据情况灵活选择用x型或y型求面积

或利用几何意义求特殊的积分：

（2）定积分在物理中的应用：

位移的导数为速度，速度的导数为加速度：

s（t）¢=v（t）;v（t）¢=a（t）反之s（t）=v（t）=

变力做功：

这里F（x）是关于位移x的函数

三、推理与证明

1.合情推理

（1）归纳推理是由特殊到一般的推理；

（2）类比推理是由特殊到特殊的推理；

2.演绎推理：

是从一般性的原理（定义，性质定理，判定定理，公理，公式等）出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，又称为逻辑推理,简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

3.三段论：

三段论是演绎推理的一般模式，包括：

大前提，小前提，结论

4、综合法：

由因导果用此法需要审清每个已知条件及隐含条件，全盘考虑，更有赖于学生的解题方法经验

5、分析法：

执果索因，由结论入手寻求其成立的充分条件，俗称逆推

6、反证法步骤：

假设命题的反面成立，以此为依据结合已知条件经过演绎推理，推出矛盾，从而说明假设不成立，即原命题成立。

难在矛盾的不可预知性

常见否定词表（理解性的看看即可，不用抄）：

正面

词语

等于

大于

小于

至多

个

至少

个

至多

一个

至少

一个

否定

词语

不等于

不大于

不小于

至少

个

至多

个

至少

两个

一个

没有

正面

词语

是

都是

全是

所有

任意

任意

两个

存在

否定

词语

不是

不都是

不全是

某些

某个

某

两个

任意

7、数学归纳法解题步骤：

一个与自然数相关的命题，如果

（1）当取第一个值时命题成立；

（2）在假设当时命题成立的前提下，推出当时命题也成立，那么可以断定，这个命题对取第一个值后面的所有正数成立。

注意事项：

必须理解原命题含义初始值并不都是1开始的两凑：

凑假设，凑结论（得具有目标意识）

难在由n=k到n=k+1命题的变化

数学归纳法易和数列结合考察

四、复数复习

1、基本概念

⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①复数：

形如a+bi的数（其中）；实数：

当b=0时的复数a+bi，即a；

②虚数：

当时的复数a+bi；纯虚数：

当a=0且时的复数a+bi，即bi.

③复数a+bi的实部与虚部：

a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

④复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示，其分类：

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

*若，则是的必要不充分条件.（当，

时，上式成立）

2、复数与坐标、方程

⑴复平面内的两点间距离公式：

.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：

复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：

.

⑵常见曲线方程的复数表示形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.②.仅仅了解，实数范围内的也有类似不等式

3.共轭复数的性质：

（和的共轭等于共轭的和）（差的共轭等于共轭的差）

（）（商的共轭等于共轭的商）（积的共轭等于共轭的积）

以上性质课本上没有但如果了解有时会方便计算（仅仅了解即可）

（以下必须掌握），（a+bi）（最易错）

4、复数的四则运算：

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：

z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i；

（2）减法：

z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i；

（3）乘法：

z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i（按多项式展开即可）

（4）除法：

（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化：

分子分母同时乘以分母的共轭复数）；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）复数的乘方

①复数的乘方：

②对任何，及（非零自然数）有

②注：

a以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,即不是对任意m,n都成立的，因此易编制“正误辨析”

b在实数集成立的.当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

5.复数是实数及纯虚数的充要条件（易考）：

①.②若，是纯虚数.

5

既然选择了远方，便只顾风雨兼程！

陈锦阳