数学人教新课标A版圆锥曲线练习题库4总结教育文档Word文档下载推荐.docx
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由题意知:
小结:
双曲线方程含两个参量Α,b,因此确定其方程需要两个独立的条件,但是求离心率则不必先求双曲线方程,只需用Α,b,c,间的关系就可导出。
例3:
已知双曲线的渐近线方程是,且双曲线过点(3,4),则双曲线的离心率为,双曲线的方程为
∵双曲线的渐近线方程为
∴设双曲线方程为
又∵双曲线过点(3,4)
∴,解得,
∴双曲线方程为
其中
当已知渐近线方程,求双曲线方程时,由于不知道焦点在x轴上还是在y轴上,可设方程为,若求出的k为负值,则说明焦点在y轴上。
与双曲线其渐近线的双曲线为时焦点在y轴上。
例4:
已知双曲线的焦距是6,并且经过P(4,1)点则此双曲线的标准方程是
由题意知
设双曲线的方程为
则
∴双曲线的标准方程为
又设双曲线的标准方程为
则
题目当中没有指明焦点在x轴上还是焦点在y轴上,所以两种情况都要考虑。
例5:
已知双曲线的两个焦点坐标为F1(0,-10),F2(0,10)且一条渐近线方程是,则双曲线的标准方程为
∵双曲线的两个焦点为:
∴实轴在y轴上,且c=10
又∵一条渐近线为
∴双曲线的标准方程为
本题容易犯的错误是把写为要引起注意。
例6:
已知双曲线经过,且与另一双曲线,有共同的渐近线,则此双曲线的标准方程是
设双曲线的方程为
解得
即
常有同学把这类题目中的“渐近线”错认为“准线”。
例7:
已知双曲线的一条渐近线方程是,焦点是椭圆与坐标轴的交点,则双曲线的标准方程是
椭圆与坐标轴的交点为Α(-10
0)B(10
0)C(0
-5)D(0,
5)
若双曲线以Α、B为焦点,设双曲线方程为,
有
若双曲线以C、D为焦点,设双曲线方程是有:
例8:
已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是,则此双曲线的离心率为
或2
∵两条渐近线所夹的锐角为
∴渐近线有两种情况。
(1)设渐近线方程为
(2)设渐近线方程为
例9:
直线被双曲线,所截得弦的中点坐标是,弦长是
。
,
把①代入②得
③
设直线与双曲线的两个交点为,的中点坐标为。
由方程③知
把代入①中得
例10:
已知关于x,y的二次方程表示的是双曲线,则m的取值范围是
由题意知:
例11:
已知双曲线方程为,经过它的右焦点F2,作一条直线,使直线与双曲线恰好有一个交点,则设直线的斜率是.
双曲线方程①
平行于渐近线的直线,与双曲线有唯一交点,
例12:
已知双曲线方程为,过一点P(0,1),作一直线l,使l与双曲线无交点,则直线l的斜率k的集合是
设l的斜率为k,则直线的方程为
①
将①代入到双曲线方程中得
,整理为
②
若,则可知直线l与双曲线相交。
故舍去
则方程②是一个一元二次方程且无实数根
例13:
双曲线右支上一点P到左右两个焦点的距离之比是5∶3,则P点右准线的距离为
Α.B.C.D.
D
设双曲线的左,右两个焦点分别为F1、F2,则F1(-5,0),F2(5
0),
离心率
由题意得知∶
设又P点在右支上
根据双曲线的第二定义,设P点到右准线的距离为d,则
选D
例14:
已知双曲线的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且与圆相交于点Α(4
-1),若圆在点Α的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程。
解:
圆的方程为,Α(4,
-1)点在圆上
∴过Α点的圆的切线方程为
又∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,
∴渐近线方程为
将Α(4,-1)的坐标代入得
所求的双曲线方程为
过圆上一点Α(x0
y0),的圆的切线方程为.求已知渐近线的双曲线方程:
已知渐近线方程为时,可设双曲线方程为,再利用已知条件确定的值。
实质是待定系数法。
例15:
已知双曲线上有一点P,焦点为F1、F2,且,求证:
证明:
如图
由双曲线定义知
在中,根据余弦定理有:
例16:
斜率为2的直线l被双曲线截得的弦长为,求直线l的方程。
设直线l的方程为
将代入得
整理得
设直线l与双曲线的两个交点坐标为,
由得
所求的直线方程是
在直线上两点,间的距离可用公式表示。
例17:
已知P为双曲线上的动点,Q是圆上的动点,求的最小值。
从圆外一点P向圆上各点连线,则连结P点与圆心C,与圆的交点为Q,线段PQ的长最短,所以只须求的最小值即可。
设P(x,y)为双曲线。
上的任一点,
C(0,2)是圆的圆心。
,此时也得到最小值。
【专项训练】:
(45分钟)
1、双曲线上一点P,到一个焦点的距离为12,则P到另一个焦点的距离为
2、以为渐近线,且经过点(1
2)的双曲线是。
3、双曲线的离心率e=2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是。
4、双曲线的渐近线中,斜率较小的一条渐近线的倾斜角为
5、若双曲线=1的一条渐近线的倾斜角为锐角,则双曲线的离心率为
Α.B.C.D.
6、已知双曲线的渐近线方程为,一条准线的方程为,求这双曲线方程
7、与双曲线共轭的双曲线方程是,它们的焦点所在的圆方程是。
8、双曲线的离心率,则k的取值范围是
Α.B.C.D.
9、椭圆与双曲线的焦点相同,则Α=
10、如图,OΑ是双曲线的实半轴,OB是虚半轴,F为焦点,且,,则设双曲线方程是
11、双曲线的方程是
(1)直线l的倾斜角为,被双曲线截出的弦长为,求直线l的方程。
(2)过点P(3,1)作直线l,使它截出的弦长恰好被点P平分,求l的方程。
【答案】:
1、22或2,
提示:
双曲线方程中,由曲线定义知
2、。
以为渐近线的双曲线方程可设为。
3、3∶1。
由
4、
渐近线的斜率为,较小的斜率为,故得倾斜角为。
5、C
6、。
因为准线平行于x轴,又中心在原点,所以可设双曲线方程为,由已知得,解得
双曲线方程为
7、
根据概念得共轭双曲线方程,半焦距得焦点所在的圆的方程为
8、C
双曲线方程为而
9、
由双曲线方程知Α>
0,焦点在x轴上,故有可得
10、
根据双曲线的几何性质知
于是
由已知可得
,从而,故双曲线方程为。
11、
(1)l的方程为
(2)l的方程为
(1)设l的方程①
把①代入双曲线方程,整理得
在即②的情况下,设两实根为x1、x2,
则
∴。
它满足条件②
∴所求l的方程为
解
(2)设l与双曲线的交点为要使P(3,
1)为的中点,应使
①-②得把③,④代入,得由得
方程为即⑤
把⑤代入双曲线方程,得,∴直线l与双曲线有两个交点,从而l方程就是
注意:
必须验证l与双曲线确实有两个交点,否则解法就不完整。