高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练60文文档格式.docx

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A．1B.

C．2D.

解析　因为抛物线的标准方程为x2＝

y，所以其焦点坐标为（0，

），则有

＝1，a＝

4．若抛物线y2＝2px上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（　　）

A．y2＝4xB．y2＝6x

C．y2＝8xD．y2＝10x

答案　C

解析　∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－

.

∵点P（2，y0）到其准线的距离为4，∴|－

－2|＝4.

∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.

5．已知点A（－2，3）在抛物线C：

y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　）

A．－

B．－1

C．－

D．－

解析　因为点A在抛物线的准线上，所以－

＝－2，所以该抛物线的焦点F（2，0），所以kAF＝

＝－

6．（xx·

衡水中学调研卷）若抛物线y2＝2px（p>

0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（　　）

A．y2＝4xB．y2＝36x

C．y2＝4x或y2＝36xD．y2＝8x或y2＝32x

解析　因为抛物线y2＝2px（p>

0）上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P（x0，±

6）．因为P到抛物线的焦点F（

，0）的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋

＝10　①.因为P在抛物线上，所以36＝2px0　②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.

7．（xx·

课标全国Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4

，|DE|＝2

，则C的焦点到准线的距离为（　　）

A．2B．4

C．6D．8

答案　B

解析　由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px（p>

0），由|AB|＝4

，可取A（

，2

），D（－

，

），设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得

＋8＝

＋5，得p＝4，所以选B.

8．（xx·

吉林长春调研测试）已知直线l1：

4x－3y＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）

A.

B．2

D．3

解析　由题可知l2：

x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F（1，0），则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是

＝2，故选B.

9．点A是抛物线C1：

y2＝2px（p>

0）与双曲线C2：

－

＝1（a>

0，b>

0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（　　）

B.

解析　求抛物线C1：

0）的一条渐近线的交点为

解得

所以

＝

，c2＝5a2，e＝

，故选C.

10．（xx·

课标全国Ⅱ，理）设抛物线C：

0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）

A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x

解析　方法一：

设点M的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋

＝5，则x0＝5－

又点F的坐标为（

，0），所以以MF为直径的圆的方程为（x－x0）（x－

）＋（y－y0）y＝0.

将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即

－4y0＋8＝0，所以y0＝4.

由y02＝2px0，得16＝2p（5－

），解之得p＝2或p＝8.

所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.

方法二：

由已知得抛物线的焦点F（

，0），设点A（0，2），抛物线上点M（x0，y0），则

＝（

，－2），

，y0－2）．

由已知得，

·

＝0，即y02－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M（

，4）．

由抛物线定义可知：

|MF|＝

＋

＝5.

又p>

0，解得p＝2或p＝8，故选C.

11．（xx·

合肥质检）已知抛物线y2＝2px（p>

0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（　　）

A．±

B．±

1

C．±

D．±

解析　设M（xM，yM），由抛物线定义可得|MF|＝xM＋

＝2p，解得xM＝

，代入抛物线方程可得yM＝±

p，则直线MF的斜率为

＝±

，选项A正确．

12．（xx·

太原一模）已知抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足

＝0，则

＝（　　）

A．0B．1

C．2D．2p

解析　设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），F（

，0），则（x1－

，y1）＋（x2－

，y2）＋（x3－

，y3）＝（0，0），故y1＋y2＋y3＝0.∵

，同理可知

，∴

＝0.

13．（xx·

河南新乡第一次调研）经过抛物线y2＝8x的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为________．

答案　3

解析　圆心是x＝1与抛物线的交点．r＝1＋2＝3.

14．（xx·

福建闽侯三中期中）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°

（O为坐标原点）时，|PF|＝________．

答案　

解析　设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°

，|BF|＝2，所以|AB|＝

.设P（x0，y0），则x0＝±

，代入x2＝4y中，得y0＝

，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝

15．已知定点Q（2，－1），F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为________．

答案　（

，－1）

解析　设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即D，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q（2，－1）的纵坐标代入y2＝4x得x＝

，故P的坐标为（

，－1）．

16.

右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

答案　2

解析　建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的方程为x2＝－2py（p>

0），

由点（2，－2）在抛物线上，可得p＝1，则抛物线方程为x2＝－2y.

当y＝－3时，x＝±

所以水面宽为2

米．

17．抛物线y2＝2px（p>

0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5

，求此抛物线方程．

答案　y2＝4x

解析　设抛物线y2＝2px（p>

0）的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y＝－

x.

解方程组

可得点A的坐标为

；

可得点B的坐标为（8p，－4p）．

∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5

∴

＋（64p2＋16p2）＝325.

∴p＝2，∴所求的抛物线方程为y2＝4x.

18．（xx·

上海春季高考题）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米．

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°

）．

答案　

（1）

（2）9.59°

解析　

（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为y轴，建系．

∴B（1.5，－4.5）．

设抛物线方程为x2＝－2py.

点B（1.5，－4.5）在抛物线上．

∴p＝

.∴焦点到准线距离为

（2）如图，C为DE中点，OC∥SD，∴O为SE中点．

SC⊥DE，OC＝4.5，∴SE＝2OC＝9.

DE＝AB＝3，∴CE＝1.5.

∴sin∠CSE＝

≈0.167.

∴∠SCE≈9.59°

∴圆锥的母线与轴的夹角约为9.59°

1．抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线的准线方程是（　　）

A．y＝－1B．y＝－

C．x＝－1D．x＝－

解析　抛物线x2＝

y的准线方程为y＝－

，关于x＝y对称的准线方程x＝－

为所求．

2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）

B．3

解析　抛物线y2＝2x的焦点为F（

，0），准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点（0，2）的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点（0，2）的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点（0，2）的距离，因此所求的最小值等于

，选A.

3．抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　）

A．（0，a）B．（a，0）

C．（0，

）D．（

，0）

解析　抛物线方程化标准方程为x2＝

y，焦点在y轴上，焦点为（0，

4．已知点A（－2，3）在抛物线C：

y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）

解析　先确定切线的方程，再联立方程组求解．

抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－

，而点A（－2，3）在准线上，所以－

＝－2，即p＝4，从而C：

y2＝8x，焦点为F（2，0）．设切线方程为y－3＝k（x＋2），代入y2＝8x得

y2－y＋2k＋3＝0（k≠0）①.由于Δ＝1－4×

（2k＋3）＝0，所以k＝－2或k＝

.因为切点在第一象限，所以k＝

将k＝

代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为（8，8），所以直线BF的斜率为

5．（xx·

海口一模）过点F（0，3）且和直线y＋3＝0相