普通高等学校招生全国统一考试数学试题文全国卷3参考解析Word格式文档下载.docx
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2.复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】由题意:
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】A
【解析】由折线图,7月份后月接待游客量减少,A错误;
本题选择A选项.
4.已知,则=
A.B.C.D.
【解析】.
5.设x,y满足约束条件,则z=x-y的取值范围是
A.[–3,0]B.[–3,2]C.[0,2]D.[0,3]
【解析】绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值.在点处取得最大值.
本题选择B选项.
6.函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为
A.B.1C.D.
【解析】由诱导公式可得:
,
则:
函数的最大值为.
7.函数y=1+x+的部分图像大致为
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】当时,,故排除A,C,当时,,故排除B,满足条件的只有D,故选D.
8.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为
A.5B.4C.3D.2
【解析】若,第一次进入循环,成立,,成立,第二次进入循环,此时,不成立,所以输出成立,所以输入的正整数的最小值是2,故选D.
9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
A.B.C.D.
【解析】如果,画出圆柱的轴截面
,所以,那么圆柱的体积是,故选B.
10.在正方体中,E为棱CD的中点,则
A.B.C.D.
【答案】C
11.已知椭圆C:
,(a>
b>
0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为
A.B.C.D.
【解析】以线段为直径的圆是,直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,整理为,即,即,,故选A.
12.已知函数有唯一零点,则a=
A.B.C.D.1
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量,且a⊥b,则m=.
【答案】2
.
14.双曲线(a>
0)的一条渐近线方程为,则a=.
【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:
,结合题意可得:
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。
已知C=60°
,b=,c=3,则A=_________。
【答案】75°
,即,结合可得,则
16.设函数则满足的x的取值范围是__________。
【答案】
【解析】由题意得:
当时恒成立,即;
当时恒成立,即;
当时,即;
综上x的取值范围是
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
设数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解:
(1)需求量不超过300瓶,即最高气温不高于,从表中可知有54天,
∴所求概率为.
(2)的可能值列表如下:
300
900
低于:
;
:
不低于:
∴大于0的概率为.
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:
AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
取中点,连
∵,为中点,
∴,
又∵是等边三角形,
又∵,∴平面,平面,
∴.
20.(12分)
在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx–2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?
说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
(1)设,则是方程的根,
所以,
则,
所以不会能否出现AC⊥BC的情况。
(2)解法1:
过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上,设圆心,则,由得,化简得,所以圆E的方程为,
令得,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为,所以
所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值
解法2:
设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,
由可知原点O在圆内,由相交弦定理可得,
又,所以,
所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为,为定值.
21.(12分)
已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论的单调性;
(2)当a﹤0时,证明.
(1)
当时,,则在单调递增
当时,则在单调递增,在单调递减.
(2)由
(1)知,当时,
,令()
则,解得
∴在单调递增,在单调递减
∴,∴,即,∴.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:
ρ(cosθ+sinθ)−=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
(1)直线的普通方程为
直线的普通方程为
消去k得,
即C的普通方程为.
(2)化为普通方程为
联立得
∴
∴与C的交点M的极径为.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式≥1的解集;
(2)若不等式≥x2–x+m的解集非空,求m的取值范围.
(2)原式等价于存在,使
成立,即
设
由
(1)知
当时,
其开口向下,对称轴
当时
其开口向下,对称轴为
综上
∴的取值范围为.