模糊聚类分析181202Word格式文档下载.docx

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第一节关系及分类

客观世界的各种事物之间存在着不同的相互关系。

在数学上使用“关系”作为一种数学模型来描述事物之间的联系，例如，大小关系、次序关系、等价关系、兄弟关系、函数关系等。

普通集合也存在关系。

1.关系的定义

定义9.1.1从到的关系是指论域为笛卡儿乘积（直积）的一个子集，即，称为从到的二元关系。

特别地，当时，称之为上的二元关系。

二元关系统称为关系。

例1设，定义关系，称为“小于”关系。

于是

这表明“小于”关系是笛卡儿乘积的子集。

例2设｛周一，周二，周三，周四，周五，周六，周日｝和｛晴，阴，雨｝。

某一周的天气情况是：

周一阴，周二雨，周三晴，周四晴，周五雨，周六雨，周日雨，则形成关系｛（周一，阴），（周二，雨），（周三，晴），（周四，晴），（周五，雨），（周六，雨），（周日，雨）｝，关系是笛卡儿乘积的一个子集。

2.关系的表示法

关系可以分别用表格、图形和矩阵表示，下面以例2为例进行说明。

（1）表格。

见表9-1

表9-1关系的表格表示

周一

周二

周三

周四

周五

周六

周日

晴

1

阴

雨

（2）图形。

见图9-1，如果，则连一条直线，否则不连。

论域论域

周一晴

周三阴

周六雨

图9-1用连线图表示关系

（3）矩阵。

见图9-2。

对一般情况，设论域为有限。

关系，，。

周一周二周三周四周五周六周日

图9-2关系的矩阵表示

3.特征函数

定义9.1.2设是论域上的集合，记

为集合的特征函数。

特征函数表征了元素对集合的隶属程度。

表示，反之表示。

第二节模糊关系及矩阵

在数学上，概念的外延可以通过“集合”来表达。

然而，日常生活中涉及的众多的概念常有内涵的“模糊（Fuzzy）性”，这必然导致外延的“不清晰性”。

例如，对于高矮之分等。

正是考虑到现实世界中很多事物的分类边界是不分明的，而这种不分明的划分在人们的识别、判断和认知过程中起着重要的作用，为了用数学的方法来处理这种问题，扎德于1965年提出了模糊集合的概念。

他用隶属度函数来刻画出中间过渡的事物对差异双方所具有的倾向性。

可以认为隶属函数是普通集合中特征函数的推广。

将特征函数的值域由二值扩展到区间时，就描述了一个模糊集合。

1.模糊集合隶属函数

定义9.2.1论域上的模糊集合由隶属函数来表征，其中在闭区间上取值，的值反映了中的元素对于的隶属程度。

例1设论域｛周一，周二，周三，周四，周五，周六，周日｝，从周一到周四是好天气，周五到周日都是坏天气。

按普通集合观点，特征函数为

，

其隶属度为（周一）=1，（周二）=1，（周三）=1，（周四）=1；

（周五）=0，（周六）=0，（周日）=0。

利用模糊集合概念能较好区分好坏天气，选取之间的数对天气情况进行细分。

这时对于天气的隶属度可以写成（周一）=0.9，（周二）=0.8，（周三）=0.7，（周四）=0.6；

（周五）=0.3，（周六）=0.2，（周日）=0.1。

2.模糊关系

定义9.2.2设论域和，称的一个模糊子集为从到的模糊二元关系，记为。

其隶属度函数为映射：

这时隶属度表示与具有关系的程度。

特别地，当时，称为上的模糊关系。

例2论域｛100，150，200，250，300，350，400，450，500，550，600，650，700，750，800｝（公斤／亩），｛高产水稻｝。

由于全国各地的自然条件差异和生产水平不同，人们对水稻亩产多少才算高产的理解不一样，亩产量与“高产水稻”之间的关系是模糊关系。

通过对不同地区种植水稻的123个农民的问卷调查，获得表9-2的结果。

表9-2亩产量与“高产水稻”的模糊关系

公斤/亩

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

频数

2

5

10

15

18

25

20

3

累计频数

8

35

51

76

96

111

114

117

119

121

122

123

累计频率

0.01

0.02

0.07

0.15

0.27

0.41

0.62

0.78

0.90

0.93

0.95

0.97

0.98

0.99

表9-2中的累计频数就是的一个模糊子集。

将累计频数变换到区间成为累计频率，这时累计频率就是隶属函数。

（500，高产水稻）=0.90表明亩产500公斤与“高产水稻”的相关程度为90%。

定义9.2.3设分别为和上的两个模糊关系。

则与的合成，记为

其中，

则为矩阵与的合成（也称为模糊矩阵乘积或模糊乘积）。

其中“”与“”为逻辑符号，分别表示取大、取小。

定义9.2.4模糊关系的传递闭包定义为：

。

由于

可见，这个性质称为传递性。

集合论中的“关系”抽象地刻画了事物的“精确性”的联系，而“模糊关系”则从更深刻的意义上表现了事物间更广泛的联系。

从某种意义上讲，模糊关系的抽象形式更接近于人的思维。

在经济生活与经济科学中存在大量的模糊关系，而分类也是经济分析与经营管理中常常使用的方法，模糊关系理论是许多应用原理和方法的基础。

3.模糊矩阵

定义9.2.5设，是到的模糊关系，记，记，，，则称为模糊矩阵。

例3设是个工作人员的集合，是项工作的集合。

若用表示能胜任的程度，就可获得到的模糊矩阵。

设（即有4个工作人员），（即有5项工作），则模糊矩阵：

例如第2个人能胜任第4项工作的程度为0.5。

定义9.2.6设论域为有限集合，上的一个模糊关系为，与其对应的模糊矩阵为，若满足：

（1）自反性：

（2）对称性：

（3）传递性：

则称为一个模糊等价矩阵，其关系是模糊等价关系。

若只满足自反性和对称性则为相似关系。

定理9.2.1设是模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数，使得传递闭包，对于一切大于的自然数，恒有。

此时，为模糊等价矩阵。

下面介绍一个实用求传递闭包的简捷方法——二次方法。

例4设，求传递闭包。

解：

容易验证，是模糊相似矩阵，用二次方法求其传递闭包。

故传递闭包。

4.模糊矩阵的-截矩阵

定义9.2.7设为模糊矩阵，对于任意的，称为模糊矩阵的-截矩阵，其中

显然，截矩阵为布尔矩阵。

例5设，则当时的-截矩阵为

第三节模糊聚类分析的一般步骤

在科学技术、经济管理中常常需要按一定的标准（相似程度或亲疏程度）进行分类。

例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。

对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。

由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。

传统的聚类把每个样本严格地划分到某一类。

随着模糊集理论的提出，传统聚类被推广为模糊聚类。

在模糊聚类中，每个样本不再仅属于某一类，而是以一定的隶属度属于每一类。

换句话说，通过模糊聚类分析，可得到样本属于各个类别的不确定性程度，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，这样就更能准确地反映现实世界。

模糊聚类分析步骤可以分为：

数据标准化、建立模糊相似矩阵、聚类。

一、数据标准化

1.数据矩阵

设论域为被分类的对象，每个对象又由个指标表示其性状，即

于是，得到原始数据矩阵为

2.数据标准化

在实际问题中，不同的数据可能有不同的量纲。

为了使不同量纲的数据也能进行比较，需要对数据进行适当的变换。

根据模糊矩阵的要求将数据压缩到区间。

通常需要做如下几种变换：

（1）平移-标准差变换

其中。

经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。

但是这样得到的还不一定在区间上。

（2）平移-极差变换

显然有，而且也消除了量纲的影响。

（3）对数变换

取对数以缩小变量间的数量级。

二、建立模糊相似矩阵

建立模糊相似矩阵又称为标定，即标出衡量被分类对象间相似程度的统计量。

设论域，，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，与的相似程度。

确定的方法主要借用传统聚类分析的相似系数法、距离法以及其他方法。

具体用何种方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。

1.相似系数法

（1）数量积法

显然，若中出现负值，也可采用以下方法将压缩到上：

令

，则。

当然也可用上述的平移-极差变换。

（2）夹角余弦法

（3）相关系数法

（4）指数相似系数法

其中，。

（5）最大最小法

（6）算术平均最小法

（7）几何平均最