知识讲解导数的应用二函数的极值基础Word格式文档下载.docx
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③极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
用导数求函数极值的的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；
如果左负右正，则f（x）在这个根处取得极小值.（最好通过列表法）
①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.
②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。
要点二：
函数的最值
函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；
在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个.
求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内所有使的点的函数值及在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可；
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念.最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；
最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；
②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；
极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；
最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
要点三：
函数极值与最值的简单应用
不等式恒成立，求参数范围问题
一些含参不等式，一般形如，
若能隔离参数，即可化为：
的形式.若其恒成立，则可转化成，从而转化为求函数的最值问题.
若不能隔离参数，就是求含参函数的最小值，使.所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论.
证不等式问题
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可.所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题.
两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，
我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可.所以此类问题可转化为求函数的极值问题.
【典型例题】
类型一：
求函数的极值
例1.下列函数的极值：
（1）；
（2）.
【解析】
（1）函数的定义域为R，
，
令，得x=－2或x=2，
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2，2）
2
（2，+∞）
＋
－
极大值
极小值
从上表可以看出，当x=―2时，函数有极大值，且；
当x=2时，函数有极小值，且.
（2）函数的定义域为R，
令，得x=0或x=2，
（－∞，0）
（0，2）
+
极小值0
极大值4e－2
由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且；
当x=2时，函数有极大值，且.
【总结升华】解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加上左右导数的符号相反，方能断定函数在处取得极值.在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误，要注意.
举一反三：
【高清课堂：
函数的极值与最值370875例题1】
【变式1】讨论函数（）的单调性并求极值．
令，解得x1=0，x2=,x3=2。
（0，）
（，2）
1
由上表可以看出，在（－∞，0）和（，2）上为减函数，在（0，）和（2，+∞）上
为增函数，
当x=0时，函数有极小值;
当x=2时，函数有极小值；
当x=时，函数有极大值.
函数的极值与最值370875例题3】
【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A.
类型二：
函数极值的逆向应用
例2.已知函数在点处取得极大值5，其导函数
的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：
（1）的值；
（2）a，b，c的值。
【思路点拨】观察导函数的图象，判断原函数在区间上的单调性，从而确定极大值点及零点；
注意条件“在点处的极大值是5”的双重条件，即，.
【解析】
（1）由图象可知，在（―∞，1）上，在（1，2）上，在（2，+∞）上，
故在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减，
因此在x=1处取得极大值，所以=1.
（2）方法一：
由，，，
得，解得.
方法二：
设.
又，所以，，c=2m，
，由，即，
得m=6，所以a=2，b=―9，c=12.
【总结升华】由导函数的图象求极值点，先看图象与x轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负.
【变式】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.
【答案】
依题意得方程组解得.
当a=-3,b=3时，
令得x=1.
（-∞,1）
（1,+∞）
↗
无极值
显然a=-3,b=3不合题意，舍去.
当a=4,b=-11时，f´
（x）=3x2+8x-11=（x-1）（3x+11）
令得或x=1.
（1，+∞）
-
↘
f（x）在x=1处有极小值10，合题意，
∴a=4,b=-11.
类型三：
求函数的最值
函数的极值与最值370875例题2】
例3.求函数在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
【解析】，
-1
-2
又，，
结合上表可知，当x=-1时，f（x）取最小值-2；
当x=0或2时,f（x）取最大值1.
∴函数在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2.
【总结升华】解题格式要求：
（1）对于分解因式，写出相应方程的根；
（2）列表格，表格反映出随的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值；
（3）一般要注明x取何值时取得最大最小值.
【变式】求函数y=x4―2x2+5在区间[―2，2]上的最大值与最小值。
【答案】先求导数，得y＇=4x3―4x。
令y＇=0即4x3―4x=0，
解得x1=―1，x2=0，x3=1。
当x变化时，y＇，y的变化情况如下表：
（―2，―1）
－1
（－1，0）
（0，1）
（1，2）
y＇
y
13
4
5
从上表知，当x=±
2时，函数有最大值13；
当x=±
1时，函数有最小值4。
例4.求函数，x∈[－3，2]的最值.
由得x=―1，0，1.
∵f（-3）=-60，f（-1）=f
（1）=4，f（0）=3，f
（2）=-5，
经比较可得：
当x=―3时，有最小值―60；
当x=―1时或1时，有最大值4.
【总结升华】当方法熟悉后,可以不再列表.也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.
【变式】求函数，x∈[0，2]的最值.
【答案】，令，
化简为x2+x―2=0，解得x1=―2（舍去），x2=1.
∵，又，，
∴为函数在[0，2]上的最小值，为函数在[0，2]上的最大值.
类型四：
函数的极值与最值的应用
例5.已知函数
（1）求函数在区间[1，]上的最大值、最小值；
（2）求证：
在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方.
（1）=，令，得，
当[1，]时，，则在区间[1，]上是增函数，
∴当时，有最小值；
当时，有最大值.
（2）设=，则，
∵，，
∴在区间（1，）上是减函数，
又∵，
∴，即，，
∴在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方.
【总结升华】利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确地构造出函数，最后再求出函数的最值.
【变式】求证：
当x＞0时，.
【答案】设，
，，则函数在上是单调增函数，
∴当x＞0时，，
即x＞0时，.
例6.已知函数，若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
【思路点拨】先利用第一个条件求出函数式，注意到直线y=m是平行x轴的一条直线，再结合函数的单调性，易求出m的取值范围.
【解析】因为在处取得极大值，
所以
由解得.
由
（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值.
因为直线与函数的图象有三个
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