高三数学 期中测试Word格式文档下载.docx

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③若a>

0，b>

0，c>

0，则＋＋≥3；

④若a>

0，则不等式≥恒成立．

A．1B．2

C．3D．4

5．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＝8，且Sn＋1＝pSn＋1，则实数p的值为（　　）

C.D．4

7．（优质试题·

广州调研）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·

的取值范围是（　　）

A．[，2]B．[0，]

C．[，]D．[0,1]

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝2A，cosA＝，b＝5，则△ABC的面积为（　　）

9．（优质试题·

长沙模拟）已知函数f（x）＝若关于x的方程f2（x）－af（x）＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．（0,2）

C．（1,2）D．（0,3）

10．已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋4（0<

a<

3），若x1<

x2，x1＋x2＝1－a，则（　　）

A．f（x1）<

f（x2）B．f（x1）＝f（x2）

C．f（x1）>

f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定

11．已知函数f（x）＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f（－1）的取值范围是（　　）

A．[－，3]B．[，6]

C．[3,12]D．[－，12]

12．（优质试题·

北京朝阳区模拟）若函数f（x）＝2sin（－2<

x<

10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（＋）·

等于（　　）

A．－32B．－16

C．16D．32

二、填空题

13．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2（an＋an＋2）＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

14．已知函数f（x）＝若对任意的x∈[1－2a，2a－1]，不等式f[a（x＋1）－x]≥[f（x）]a恒成立，则实数a的取值范围是________．

15．设n是正整数，由数列1,2,3，…，n分别求相邻两项的和，得到一个有n－1项的新数列：

1＋2,2＋3,3＋4，…，（n－1）＋n，即3,5,7，…，2n－1.对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是____________．

16．若不等式组表示的平面区域为三角形，则实数k的取值范围是________________．

三、解答题

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2A＋＝2cosA.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

18．已知函数f（x）＝alnx－x＋.

（1）若a＝4，求f（x）的极值；

（2）若f（x）在定义域内无极值，求实数a的取值范围．

19．已知f（x）＝（x－1）2，g（x）＝4（x－1），数列{an}满足：

a1＝2，an≠1，且（an－an＋1）g（an）＝f（an）

（n∈N*）．

（1）证明：

数列{an－1}是等比数列；

（2）若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

优质试题知二次函数f（x）＝x2＋bx＋c（b，c∈R）．

（1）若f（－1）＝f

（2），且不等式x≤f（x）≤2|x－1|＋1对x∈[0,2]恒成立，求函数f（x）的解析式；

（2）若c<

0，且函数f（x）在[－1,1]上有两个零点，求2b＋c的取值范围．

21.已知数列{an}是各项为正数的等比数列，数列{bn}的前n项和Sn＝n2＋5n，且满足a4＝b14，a6＝b126，令cn＝logan（n∈N*）．

（1）求数列{bn}及{cn}的通项公式；

（2）设Pn＝cb1＋cb2＋…＋cbn，Qn＝cc1＋cc2＋…＋ccn，试比较Pn与Qn的大小，并说明理由．

22．已知函数f（x）＝ln（ex＋a＋3）（a为常数）是实数集R上的奇函数．

（1）若关于x的方程＝x2－2ex＋m有且只有一个实数根，求m的值；

（2）若函数g（x）＝λf（x）＋sinx在区间[－1,1]上是减函数，且g（x）≤λt－1在x∈[－1,1]上恒成立，求实数t的最大值．

答案精析

1．C　[由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，有

或解得或

故a＝0或.]

2．D　[因为f＝f＝2sin＝，

f（4）＝log24＝2，所以f＋f（4）＝＋2，故选D.]

3．D　[y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sinx|是偶函数，

y＝sin＝cos2x是偶函数，y＝cos＝－sin2x是奇函数，根据公式得T＝π.]

4．D

5．C　[当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P（x0，y0）满足x0－2y0＝2，因此m<

0.

如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．

要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点A（－m，m）在直线y＝x－1的下方即可，即m<

－m－1，解得m<

－.]

6．B　[因为数列{an}是等比数列，由Sn＋1＝pSn＋1，得Sn＋2＝pSn＋1＋1，两式相减得＝p，所以公比q＝p，

由Sn＋1＝pSn＋1，得a1＋a2＝pa1＋1，

所以a1＋pa1＝pa1＋1，即a1＝1，

由a4＝8＝a1p3，得p3＝8，所以p＝2.故选B.]

7．C　[将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E（x,0），0≤x≤1.

又M，C（1,1），所以＝，＝（1－x,1），所以·

＝·

（1－x,1）＝（1－x）2＋.因为0≤x≤1，所以≤（1－x）2＋≤，即·

的取值范围是[，]．]

8．A　[cosA＝，cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝，sinC＝，tanC＝3，

如图，设AD＝3x，AB＝4x，CD＝5－3x，BD＝x.

在Rt△DBC中，tanC＝＝＝3，

解得BD＝x＝，S△ABC＝BD·

AC＝.]

9．A　[设t＝f（x），则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f（x）＝0或f（x）＝a.

如图，作出函数f（x）的图象，

由函数图象，可知f（x）＝0的解有两个，

故要使方程f2（x）－af（x）＝0恰有5个不同的解，

则方程f（x）＝a的解必有三个，此时0<

1.

所以a的取值范围是（0,1）．]

10．A　[f（x）的对称轴为直线x＝－1，

又∵x1＋x2＝1－a，∴＝，0<

3.

∴>

－1.∵x1<

x2，

∴x1离对称轴的距离小于x2离对称轴的距离．

又∵a>

0，∴f（x1）<

f（x2）．]

11．C　[方法一　由于f′（x）＝3x2＋4bx＋c，依题意知，方程3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，令g（x）＝3x2＋4bx＋c，

结合二次函数图象可得只需

此即为关于点（b，c）的线性约束条件，作出其对应的平面区域，f（－1）＝2b－c，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f（－1）＝2b－c的最值问题，由线性规划易知

3≤f（－1）≤12，故选C.

方法二　方程3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]的条件也可以通过二分法处理，即只需g（－2）g（－1）≤0，g

（2）g

（1）≤0即可，利用同样的方法也可解答．]

12．D　[由f（x）＝2sin＝0可得＋＝kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.

∵－2<

10，∴k＝1，x＝4，

即A（4,0）．设B（x1，y1），C（x2，y2），

∵过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，∴B，C两点关于A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0，则（＋）·

＝（x1＋x2，y1＋y2）·

（4,0）＝4（x1＋x2）＝32.故选D.]

13．2n

解析　∵2（an＋an＋2）＝5an＋1，

∴2an＋2an·

q2＝5an·

q，

即2q2－5q＋2＝0，

解得q＝2或q＝（舍去）．

又∵a＝a10＝a5·

q5，

∴a5＝q5＝25＝32.

∴32＝a1·

q4，解得a1＝2.

∴an＝2×

2n－1＝2n，故an＝2n.

14．（，1]

解析　由题设知，f（x）＝

因为1－2a<

2a－1，所以a>

，当x≥0时，ax≥0，当x<

0时，ax<

0，可得[f（x）]a＝f（ax），因此，原不等式等价于f[a（x＋1）－x]≥f（ax），因为f（x）在R上是增函数，所以a（x＋1）－x≥ax，

即x≤a恒成立，又x∈[1－2a,2a－1]，所以2a－1≤a，解得a≤1，又a>

，故a∈（，1]．

15．2n－2（n＋1）

解析　设数列{an}为题干一系列新数列中的第一项，则由归纳推理得an＝2an－1＋

2n－2（n≥2）⇒－＝⇒即数列{}是首项为，公差为的等差数列⇒＝＋（n－1）＝⇒an＝2n－2（n＋1），即最后一个数列的项是an＝2n－2（n＋1）．

16．（－∞，－2）∪

解析　如图，只有直线y＋2＝k（x＋1）从直线m到直线n移动，或者从直线a到直线b移动时，不等式组表示的平面区域才是三角形．故实数k的取值范围是0<

k≤或者k<

－2.

17．解　

（1）根据二倍角公式得2cos2A＋＝2cosA，

即4cos2A－4cosA＋1＝0，

所以（2cosA－1）2＝0，所以cosA＝.

因为0<

A<

π，所以A＝.

（2）根据正弦定理：

＝＝，又a＝1，

得b＝sinB，c＝sinC，

所以l＝1＋b＋c＝1＋（sinB＋sinC）．

因为A＝，所以B＋C＝，

所以l＝1＋＝1＋2sin.

B<

，所以l∈（2,3]．

18．解　

（1）当a＝4时，f（x）＝4lnx－x＋（x>

0），

f′（x）＝－1－＝，

令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝3.

当0<

1或x>

3时，f′（x）<

0，

当1<

3时，f′（x）>

f

（1）＝2，f（3）＝4ln3－2，

所以f（x）的极小值为2，

极大值为4ln3－2.

（2）f（x）＝alnx－x＋（x>

f（x）在定义域内无极值，即f′（x）≥0或f′（x）≤0在定义域上恒成立．

即方程f′（x）＝0在（0，＋∞）上无变号零点．设g（x）＝－x2＋ax－（a－1），

则Δ≤0或解得a＝2，

所以实数a的取值范围为{2}．

19．

（1）证明　由（an－an＋1）g（an）＝f（an）（n∈N*）得，4（an－an＋1）（an－1）＝（an－1）2（n∈N*）．

由题意知an≠1，

所以4（an－an＋1）＝an－1（n∈N*），

即3（an－1）＝