精选高中数学平面向量习题及答案doc.docx
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精选高中数学平面向量习题及答案doc
第二章平面向量
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（）．
A．AB与AC共线B．DE与CB共线
C．AD与AE相等D．AD与BD相等
（第1题）
2．下列命题正确的是（）．
A．向量AB与BA是两平行向量
B．若a，b都是单位向量，则a＝b
C．若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．平面直角坐标系中，
O为坐标原点，已知两点
A（3，1），B（－1，3），若点C满足OC＝
OA＋
OB，其中
，∈R，且＋＝1，则点C的轨迹方程为（
）．
A．3x＋2y－11＝0
B．（x－1）2＋（y－1）2＝5
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
4．已知a、b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（
）．
A．
B．
2
D．
5
C．
6
6
3
3
5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线
AC上（不包括端点A，C），则AP＝（
）．
A．λ（AB＋AD），λ∈（0，1）
B．λ（AB＋BC），λ∈（0，
2）
2
C．λ（AB－AD），λ∈（0，1）
D．λ（AB－BC），λ∈（0，
2）
2
6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DF＝（
）．
A．EF＋ED
B．EF－DE
C．EF＋AD
D．EF＋AF
7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则向量a的模为（
）．
A．2
B．4
C．6
D．12
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
OA·OB
＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC
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的（
）．
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形
ABCD为（
）．
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是（
）．
A．AD与BC
B．OA与OB
C．AC与BD
D．EO与OF
二、填空题
（第10题）
11．已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（－k，10），且A，B，C三点共线，则k＝
．
12．已知向量a＝（x＋3，x2－3x－4）与MN相等，其中M（－1，3），N（1，3），则x＝
．
13．已知平面上三点
A，B，C满足|
AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则
AB
·
＋
BC
·＋
·
BC
CA
CAAB
的值等于
．
14．给定两个向量
a＝（3，4），b＝（2，－1），且（a＋mb）⊥（a－b），则实数m等于
．
15．已知A，B，C三点不共线，
O是△ABC内的一点，若
OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC
的
．
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16．设平面内有四边形
ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c,OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边
形ABCD的形状是
．
三、解答题
17．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若点P满足AP＝
AB
AC
（λ∈R），试求λ为何值时，
＋λ
点P在第三象限内？
18．如图，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且
MN与AD交于F，求DF．
（第18题）
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19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：
AF⊥DE（利用向量证明）．
（第19题）
20．已知向量a＝（cosθ，sinθ），向量b＝（3，－1），则|2a－b|的最大值．
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参考答案
一、选择题
1．B
解析：
如图，
AB与AC，AD与AE不平行，AD与BD共线反
向．
2．A
解析：
两个单位向量可能方向不同，故
B不对．若AB＝DC，
（第1题）
可能A，B，C，
D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故
D也不对．
3．D
解析：
提示：
设OC＝（x，y），OA＝（
3，1），OB＝（－1，3），
OA＝（3
，），
OB＝（－，
3），又OA＋
OB＝（3－，＋3），
∴（x，y）＝
＝
－
D．
（3－，＋3），∴x3
，又＋＝1，由此得到答案为
＝＋
y
3
4．B
解析：
∵（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，
∴（a－2b）·a＝a2－2a·b＝0，（b－2a）·b＝b2－2a·b＝0，
∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||
b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝
1．
2
∴a与b的夹角是π．
3
5．A
解析：
由平行四边形法则，AB＋AD＝AC，又AB＋BC＝AC，由λ的范围和向量数乘的长度，λ
∈（0，1）．6．D
解析：
如图，∵AF＝DE，
∴DF＝DE＋EF＝EF＋AF．
（第6题）
7．C
解析：
由（a＋2b）·（a－3b）＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．
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而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．
8．D
解析：
由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,
即OA·（OC－OB）＝0，
故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，
∴O是△ABC的三条高的交点．
9．C
解析：
∵AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，∴AD∥BC且|AD|≠|BC|．
∴四边形ABCD为梯形．
10．D
解析：
AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．
二、填空题
11．－2．
3
解析：
A，B，C三点共线等价于AB，BC共线，
AB＝OB－OA＝（4，5）－（k，12）＝（4－k，－7），
BC＝OC－OB＝（－k，10）－（4，5）＝（－k－4，5），
又A，B，C三点共线，
∴5（4－k）＝－7（－k－4），∴k＝－2．
3
12．－1．
解析：
∵M（－1，3），N（1，3），
∴MN＝（2，0），又a＝MN，
x＋3＝2
x＝－1
∴
解得
2
或
x＝4
x－3x－4＝0
x＝－1
∴x＝－1．
13．－25．
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解析：
思路1：
∵AB＝3，BC＝4，CA＝5，
∴△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB·BC＝0，
∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB
＝BC·CA＋CA·AB
＝CA·（BC＋AB）
＝－（CA）2
2
＝－CA
＝－25．
思路2：
∵AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴∠ABC＝90°，
∴cos∠CAB＝AB＝3，cos∠BCA＝BC＝4．
CA5CA5
根据数积定义，结合图（右图）知AB·BC＝0，
4
BC·CA＝BC·CAcos∠ACE＝4×5×（－）＝－16，
3
CA·AB＝CA·ABcos∠BAD＝3×5×（－）＝－9．
∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0―16―9＝－25．
14．23．
3
解析：
a＋mb＝（3＋2m，4－m），a－b＝（1，5）．
∵（a＋mb）⊥（a－b），
D
（第13题）
∴（a＋mb）·（a－b）＝（3＋2m）×1＋（4－m）×5＝0
m＝23．
3
15．答案：
重心．
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