届中考数学复习专题练专题三 方案设计问题3.docx

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届中考数学复习专题练专题三方案设计问题3

专题三方案设计问题

A组　2017年全国中考题组

一、选择题

1.（2017·浙江宁波，12，4分）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为（　　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

解　如图，∵长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴A的对应点是A′，B的对应点是B′，∴AB＝A′B′.∵①的长和②的边长的和等于原长方形的长，①的宽和②的边长的和等于原长方形的宽，∴①②的周长和等于原长方形的周长，∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②，其余的图形的周长不用测量无法判断．故选A.

答案　A

二、填空题

2．（2017·浙江温州，16，5分）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）．图乙中，＝，EF＝4cm，上、下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为________cm.

解析　设AB＝6xcm，BC＝7xcm，AF＝ycm.

由题意得

解得

∴AB＝12，AD＝14，∴DF＝9，

∴CF＝15，∴FH＝DH＝.

∵△FGE∽△FHD，

∴＝，∴FG＝，

∴GH＝－＝.∴菱形的周长为.

答案　

三、解答题

3．（2017·四川广安，21，12分）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：

不同的分法，面积可以相等）．

解　根据分析，可得

（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH，△BEF，△CFG，△DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是：

（4÷2）×（4÷2）÷2＝2×2÷2＝2（cm2）．

（2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO，△BEO，△BFO，△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：

（4÷2）×（4÷2）÷2＝2×2÷2＝2（cm2）．

（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO，△DHO，△BFO，△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：

（4÷2）×（4÷2）÷2＝2×2÷2＝2（cm2）．

（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI，△OEI，每个最小的等腰直角三角形的面积是：

（4÷2）×（4÷2）÷2÷2＝2×2÷2÷2＝1（cm2）．

4．（2017·四川绵阳，21，8分）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．

（1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式；

（2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？

哪种安排方案运费最低并求出最低运费．

解　

（1）根据题意得：

y＝1000x＋1200（30－x）＝36000－200x.

（2）设安排甲货船x艘，则安排乙货船（30－x）艘，

根据题意得：

化简得：

∴23≤x≤25.

∵x为整数，∴x＝23，24，25，

方案一：

甲货船23艘，则安排乙货船7艘，运费y＝36000－200×23＝31400元；

方案二：

甲货船24艘，则安排乙货船6艘，运费y＝36000－200×24＝31200元；

方案三：

甲货船25艘，则安排乙货船5艘，运费y＝36000－200×25＝31000元；

经分析得方案三运费最低，为31000元．

5．（2017·浙江金华，23，10分）图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．

（1）蜘蛛在顶点A′处．

①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．

②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．

（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．

解　

（1）①根据“两点之间，线段最短”可知：

线段A′B为最近路线，如图1所示．

②Ⅰ.将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①.

图1

　　　　　　　　　　　图2①

在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，

∴AC＝＝＝20.　　　

Ⅱ.将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②.

图2②

在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，

∴A′C＝＝＝10.

∵＜，

∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近；　　　

（2）过点M作MH⊥AB于H，连结MQ，MP，MA，MB，如图3.

图3

∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，

∴MH＝60－10＝50，HB＝15，AH＝40－15＝25，

根据勾股定理可得AM＝＝＝，

MB＝＝＝，

∴50≤MP≤.

∵⊙M与PQ相切于点Q，∴MQ⊥PQ，∠MQP＝90°，

∴PQ＝＝.

当MP＝50时，PQ＝＝20；

当MP＝时，PQ＝＝55.

∴PQ长度的范围是20dm≤PQ≤55dm.

6．（2017·四川南充，22，12分）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．

（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？

（不需说明理由）

（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．

解　

（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，

根据折叠的性质可知：

∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，

∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°.

∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ＝∠AMP，

∴△AMP∽△BPQ，同理：

△BPQ∽△CQD，

根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；

（2）∵AD∥BC，∴∠DQC＝∠MDQ，

根据折叠的性质可知：

∠DQC＝∠DQM，

∴∠MDQ＝∠DQM，

∴MD＝MQ.

∵AM＝ME，BQ＝EQ，

∴BQ＝MQ－ME＝MD－AM，

∵sin∠DMF＝＝，∴设DF＝3x，MD＝5x，

∴BP＝PA＝PE＝，BQ＝5x－1.

∵△AMP∽△BPQ，∴＝，∴＝，

解得：

x＝或x＝2，

∴AB＝或6.

B组　2017～2017年全国中考题组

解答题

1．（2017·天津，24，8分）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：

在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x>100.

（1）根据题意，填写下表（单位：

元）：

累计购物

实际花费

130

290

…

x

在甲商场

127

…

在乙商场

126

…

（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？

（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？

解　

（1）在甲商场：

271，0.9x＋10；在乙商场：

278，0.95x＋2.5.

（2）根据题意，有0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150，

∴当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同；

（3）由0.9x＋10<0.95x＋2.5，解得x>150，

由0.9x＋10>0.95x＋2.5，解得x<150.

∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少．

当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．当小红累计购物150元时，甲、乙商场花费一样．

2．（2017·山东济宁，20，8分）在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：

（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；

（2）设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告.

名　称

四等分圆的面积

方　案

方案一

方案二

方案三

选用的工具

带刻度的三角板

画出示意图

简述设计方案

作⊙O两条互相垂直的直径AB，CD，将⊙O的面积分成相等的四份

指出对称性

既是轴对称图形又是中心对称图形

解　

名称

四等分圆的面积

方案

方案一

方案二

方案三

选用的工具

带刻度的三角板

带刻度三角板、

量角器、圆规

带刻度三角板、

圆规

画出示意图

简述设计方案

作⊙O两条互相垂直的直径AB，CD，将⊙O的面积分成相等的四份.

（1）以点O为圆心，以3个单位长度为半径作圆；

（2）在大⊙O上依次取三等分点A，B，C；

（3）连结OA，OB，OC.则小圆O与三等份圆环把⊙O的面积四等分

（1）作⊙O的一条直径AB；

（2）分别以OA，OB的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O1，⊙O2；

则⊙O1，⊙O2和⊙O中剩余的两部分把⊙O的面积四等分

指出对称性

既是轴对称图形又是中心对称图形

轴对称图形

既是轴对称图形又是中心对称图形

3.（2017·山东烟台，23，8分）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.

（1）今年A型车每辆售价多少元？

（用列方程的方法解答）

（2）该车行计划新近一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

A型车

B型车

进货价格（元）

1100

1400

销售价格（元）

今年的销售价格

2000

解　

（1）设今年A型车每辆售价a元，则去年每辆售价（a＋400）元，得

＝.解得：

a＝1600.

经检验，a＝1600是所列方程的根．

答：

今年A型车每辆售价为1600元．

（2）设车行新进A型车b辆，则B型车为（60－b）辆，获利润y元．由题意，得

y＝（1600－1100）b＋（2000－1400）（60－b），

即y＝－100b＋36000.

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，

∴60－b≤2b，∴b≥20.

由y与b的关系式可知，－100＜0，y的值随b值的增大而减小．∴当b＝20时，y的值最大．

∴60－b＝60－20＝40（辆）．

答：

当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

4．（2017·浙江舟山，22，10分）小明在