四川省成都市双流区学年高二数学月考试题 理Word文档格式.docx
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7.直线与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,且,则()
8.若直线过点与双曲线只有一个公共点,则这样的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
9.若不论为何值,直线与曲线总有公共点,则的取值范围是()
10.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知这个球的体积是,那么这个三棱柱的体积是()
A.B.C.D.
11.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是()
A.B.C.[-,]D.
12.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是().
A.1B.2C.1或2D.-1或2
第Ⅱ卷(90分)
二.填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分)
13.动圆过点,且与直线相切,则动圆的圆心的轨迹方程为____________.
14.函数在处的切线方程为____________.
15.已知函数在与时都取得极值,若对,不等式
恒成立,则c的取值范围为______。
16.已知函数,对于任意都有恒成立,则的取值范围是.
三.解答题(本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性.
18.(本小题满分12分)
某校进行文科、理科数学成绩对比,某次考试后,各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计,其频率分布表如下.
分组
频数
频率
8
0.08
4
0.04
17
0.17
18
0.18
40
0.4
37
0.37
21
0.21
31
0.31
12
0.12
7
0.07
2
0.02
3
0.03
总计
100
理科文科
(Ⅰ)根据数学成绩的频率分布表,求理科数学成绩的中位数的估计值;
(Ⅱ)请填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关:
数学成绩分
合计
理科
文科
200
(Ⅲ)设文理科数学成绩相互独立,记表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于120分”,估计的概率.
附:
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19.(本题满分12分)
已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>
0).
(Ⅰ)若g(x)=m有实根,求m的取值范围;
(Ⅱ)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
20.(本题满分12分)
设为坐标原点,动点在椭圆:
上,过作轴的垂线,
垂足为,点满足.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)设点在直线上,且.证明:
过点且垂直于的直线
过的左焦点.
21.已知函数,.
(Ⅰ)当时,若关于的不等式恒成立,求的取值范围;
(Ⅱ)当时,证明:
.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22.选修4-4:
极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(Ⅱ)若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)记函数的最小值为,若,,均为正实数,且,求的最小值.
2018年春期四川省双流中学高二年级四月月考
数学(理科)答案
1-6ABCDDB7-12ACBDBC
13.;
14.;
15.16.
17..解:
(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4,
由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8.
从而a=4,b=4.
(2)由
(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·
.
令f′(x)=0得,x=-ln2或x=-2.
当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.
18.解:
(Ⅰ)理科数学成绩的频率分布表中,成绩小于105分的频率为0.35<
0.5,
成绩小于120分的频率为0.75>
故理科数学成绩的中位数的估计值为分.
(Ⅱ)根据数学成绩的频率分布表得如下列联表:
25
75
22
78
47
153
,
故没有90%的把握认为数学成绩与文理科有关.
(Ⅲ)记B表示“文科数学成绩大于等于120分”,C表示“理科数学成绩大于等于120分”,
由于文理科数学成绩相互独立,
所以A的概率.
19.(本小题满分12分)解
(1)∵g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有实根.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>
0)的图象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.
故当m-1+e2>
2e,即m>
-e2+2e+1时,
g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
20.解:
(1)设,,则
由得
因为在上,所以.因此点的轨迹方程为
(2)由题意知设,则
由得
又由
(1)知,故
所以,即.
又过点存在唯一直线垂直于,
所以过点且垂直于的直线过的左焦点.
21.解:
(1)由,得.
整理,得恒成立,即.
令.则.
∴函数在上单调递减,在上单调递增.
∴函数的最小值为.
∴,即.
∴的取值范围是.
(2)∵为数列的前项和,为数列的前项和.
∴只需证明即可.
由
(1),当时,有,即.
令,即得.
∴.
现证明,
即.
现证明.
构造函数,
则.
∴函数在上是增函数,即.
∴当时,有,即成立.
令,则式成立.
综上,得.
对数列,,分别求前项和,得
22.解:
(1)∵直线的极坐标方程为,即.
由,,可得直线的直角坐标方程为.
将曲线的参数方程消去参数,得曲线的普通方程为.
(2)设.
点的极坐标化为直角坐标为.
∴点到直线的距离.
当,即时,等号成立.
∴点到直线的距离的最大值为.
23.解:
(1).
∴等价于或或.
解得或.
∴原不等式的解集为.
(2)由
(1),可知当时,取最小值,即.
由柯西不等式,有.
当且仅当,即,,时,等号成立.
∴的最小值为.