高考数学理一轮复习分层演练35三角函数的图象与性质含答案文档格式.docx

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[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）为减；

[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）为增

（k∈Z）为增

对称中心

（kπ，0）（k∈Z）

（k∈Z）

对称轴

x＝kπ＋（k∈Z）

x＝kπ（k∈Z）

无

1．辨明三个易误点

（1）y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间（k∈Z）内为增函数．

（2）三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”连接．

（3）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>

0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解．

2．学会求三角函数值域（最值）的两种方法

（1）将所给函数化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，通过分析ωx＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；

（2）换元法：

把sinx（或cosx）看作一个整体，化为二次函数来解决．

1.在[0，2π]上，满足sinx>

0，且cosx<

0的区间是（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

　B　[解析]法一：

由sinx>

0，得x∈（0，π），

由cosx<

0得x∈.

所以满足条件的区间是（0，π）∩＝，故选B.

法二：

画出y＝sinx与y＝cosx的图象（图略），即选B.

2．函数y＝tan3x的定义域为（　　）

A.B.

C.D.

　D　[解析]由3x≠＋kπ（k∈Z），得x≠＋，k∈Z.故选D.

3．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（　　）

A．y＝sinB．y＝cos

C．y＝sinD．y＝cos

　A　[解析]因为函数的周期为π，所以排除C、D.

因为函数在上是减函数，所以排除B，故选A.

4．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________．

[解析]函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ（k∈Z），即x＝＋2kπ（k∈Z）．

[答案]5　＋2kπ（k∈Z）

5.函数y＝tan的最小正周期是________，单调增区间是________．

[答案]2　（k∈Z）

　三角函数的定义域和值域[学生用书P74]

[典例引领]

（1）（2016·

高考全国卷甲）函数f（x）＝cos2x＋6cos的最大值为（　　）

A．4　　　　　　　　　　B．5

C．6D．7

（2）函数y＝lg（2sinx－1）＋的定义域是________．

【解析】　

（1）f（x）＝1－2sin2x＋6sinx＝－2＋，因为sinx∈[－1，1]，所以当sinx＝1时，f（x）取得最大值，且f（x）max＝5.

（2）要使函数y＝lg（2sinx－1）＋有意义，

则即

解得2kπ＋≤x<

2kπ＋，k∈Z.

即函数的定义域为，k∈Z.

【答案】　

（1）B　

（2），k∈Z

本例

（1）变为函数y＝cos2x＋4sinx的最大值为________．

[解析]y＝cos2x＋4sinx＝－2sin2x＋4sinx＋1，设t＝sinx，则原函数可以化为y＝－2t2＋4t＋1＝－2（t－1）2＋3，所以当t＝时，函数取得最大值.

[答案]

（1）三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

（2）三角函数值域的不同求法

①利用sinx和cosx的值域直接求．

②把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）的形式求值域．　

③把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．

④利用sinx±

cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．

[通关练习]

1．函数y＝2sin（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（　　）

A．2－　　　　　　　　B．0

C．－1D．－1－

　A　[解析]因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，

所以sin∈，

所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.

2．函数y＝lgsinx＋的定义域为________．

[解析]要使函数有意义，则有

即

解得（k∈Z），

所以2kπ<

x≤＋2kπ，k∈Z.

所以函数的定义域为.

3．函数y＝（4－3sinx）（4－3cosx）的最小值为________．

[解析]y＝16－12（sinx＋cosx）＋9sinxcosx，

令t＝sinx＋cosx，则t∈[－，]，且sinxcosx＝，

所以y＝16－12t＋9×

＝（9t2－24t＋23）．

故当t＝时，ymin＝.

　三角函数的奇偶性、周期性及对称性[学生用书P75]

（1）（2017·

贵阳市监测考试）下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（　　）

A．y＝sin2x＋cos2x　　　　B．y＝sin

C．y＝sin2xcos2xD．y＝sin22x－cos22x

（2）函数y＝sin的图象与函数y＝cos的图象（　　）

A．有相同的对称轴但无相同的对称中心

B．有相同的对称中心但无相同的对称轴

C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心

D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴

【解析】　

（1）A中，y＝sin2x＋cos2x＝sin，为非奇非偶函数，故A错；

B中，y＝sin＝cos4x，为偶函数，故B错；

C中，y＝sin2xcos2x＝sin4x，最小正周期为且为奇函数，故C正确；

D中，y＝sin22x－cos22x＝－cos4x，为偶函数，故D错．

（2）由2x－＝kπ＋，k∈Z，可解得函数y＝sin的对称轴为x＝＋，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，可解得函数y＝cos的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z.当k＝0时，函数有相同的对称轴．由2x－＝kπ，k∈Z，可解得函数y＝sin的对称中心为，k∈Z.由x－＝kπ＋，k∈Z，可解得函数y＝cos的对称中心为，k∈Z.

故两个函数没有相同的对称中心，故选A.

【答案】　

（1）C　

（2）A

（1）三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；

也可以根据图象进行判断．

（2）求三角函数周期的方法

①利用周期函数的定义．

②利用公式：

y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.

③利用图象．　

（3）三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．

[注意]　判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称．

1．（2017·

宜春中学与新余一中联考）设函数f（x）＝sin－cos的图象关于原点对称，则角θ＝（　　）

A．－B.

C．－D.

　D　[解析]因为f（x）＝2sin，且f（x）的图象关于原点对称，所以f（0）＝2sin＝0，即sin＝0，所以θ－＝kπ（k∈Z），即θ＝＋kπ（k∈Z），又|θ|<

，所以θ＝.

2．（2017·

揭阳模拟）当x＝时，函数f（x）＝sin（x＋φ）取得最小值，则函数y＝f（　　）

A．是奇函数且图象关于点对称

B．是偶函数且图象关于点对称

C．是奇函数且图象关于直线x＝对称

D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称

　C　[解析]因为当x＝时，函数f（x）取得最小值，

所以sin＝－1，所以φ＝2kπ－（k∈Z）．

所以f（x）＝sin＝sin（k∈Z）．

所以y＝f＝sin（－x）＝－sinx.

所以y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．

　三角函数的单调性[学生用书P76]

三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度为中档题．

高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：

（1）求已知三角函数的单调区间；

（2）已知三角函数的单调区间求参数；

（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）；

（4）利用三角函数的单调性比较大小．

　（2016·

高考天津卷）已知函数f（x）＝4tanx·

sincos－.

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间上的单调性．

【解】　

（1）f（x）的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．

f（x）＝4tanxcosxcos－

＝4sinxcos－

＝4sinx－

＝2sinxcosx＋2sin2x－

＝sin2x＋（1－cos2x）－

＝sin2x－cos2x

＝2sin.

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）令z＝2x－，则函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

设A＝，

B＝，

易知A∩B＝.

所以，当x∈时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．

三角函数单调性问题解题策略

（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；

②求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中ω>

0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<

0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y＝Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y＝Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决．　

[题点通关]

角度一　求已知三角函数的单调区间

1．函数y＝sin的单调减区间为________．

[解析]（同增异减法）y＝－sin，

它的减区间是y＝sin的增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故其单调减区间为，k∈Z.

[答案]（k∈Z）

角度二　已知三角函数的单调区间求参数

唐山统考）已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>

0），f＋f＝0，且f（x）在区间上递减，则ω＝________.

[解析]因为f（x）在上单调递减，且f＋f＝0，所以f＝0，

因为f（x）＝sinωx＋cosωx＝2sin，

所以f＝f＝2sin＝0，

所以ω＋＝kπ（k∈Z），ω＝3k－1，k∈Z，又·

≥－，ω>

0，

所以ω＝2.

[答案]2

角度三　利用三角函数的单调性求值域（或最值）

3．函数f（x）＝sin在区间上的最小值为（　　）

A．－1　　　　　　　　　　B．－

C.D．0

　B　[解析]由已知x∈，得2x－∈，

所以sin∈，故函数f（x）＝sin在区间上的最小值为－.

角度四　利用三角函数的单调性比较大小

4．已知函数f（x）＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a<

c<

b