初三数学一对一第讲二次函数存在性问题和最值问题Word文件下载.docx

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1、课程导入

二、基础知识梳理整合

1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°

，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；

若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；

若没有，请说明理由．

2.已知：

Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？

若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；

3.如图，已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？

若存在，请写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？

若存在，请求出直线CM的解析式；

4.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（－1，0），如图所示；

抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），

使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求所有点P的坐标；

解：

（1）过点B作BD⊥x轴于D．

5.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，－），且在x轴上截得的线段AB的长为6．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：

①点P的坐标；

②△PAC的周长和面积；

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；

如果不存在，请说明理由．

答案：

（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．

由旋转性质知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120°

，∴∠BOM＝60°

．

∴OM＝OB·

cos60°

＝2×

＝1，BM＝OB·

sin60°

＝．

∴点B的坐标为（1，）．

（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c

∵抛物线过原点，∴c＝0．∴解得

∴所求抛物线的解析式为y＝x2＋x．

（3）存在．

如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC．

∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC＋OC的长最小．

∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC＝AC．

∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．

由“两点之间，线段最短”的原理可知：

此时BC＋OC最小，点C的位置即为所求．

设直线AB的解析式为y＝kx＋m，将A（－2，0），B（1，）代入，得

解得

∴直线AB的解析式为y＝x＋．

抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，即x＝－1．

将x＝－1代入直线AB的解析式，得y＝×

（－1）＋＝．

∴点C的坐标为（－1，）．

（4）△PAB有最大面积．

如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D．

∵S△PAB＝S△PAD＋S△PBD＝（yD－yP）（xB－xA）

＝[（x＋）－（x2＋x）]（1＋2）

＝－x2－x＋＝－（x＋）2＋

∴当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为．

此时yP＝×

（－）2＋×

（－）＝－．

∴此时P点的坐标为（－，－）．

（1）由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB，∴＝．

∴OC2＝OA·

OB＝OA（AB－OA），即22＝OA（5－OA）．

∴OA2－5OA＋4＝0，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4．

∴A（－1，0），B（4，0），C（0，2）．

∴可设所求抛物线的关系式为y＝a（x＋1）（x－4）．

将点C（0，2）代入，得2＝a（0＋1）（0－4），∴a＝－．

∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y＝－（x＋1）（x－4）．

即y＝－x2＋x＋2．

（2）①E1（3，），E2（，），E3（，）．

设直线BC的解析式为y＝kx＋b．则解得

∴直线BC的解析式为y＝－x＋2．

∵点E在直线BC上，∴E（x，－x＋2）．

若ED＝EB，过点E作EH⊥x轴于H，如图2，则DH＝DB＝1．

∴OH＝OD＋DH＝2＋1＝3．

∴点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，

得y＝－×

3＋2＝．∴E1（3，）．

若DE＝DB，则（x－2）2＋（－x＋2）2＝22．

整理得5x2－24x＋16＝0，解得x1＝4（舍去），x2＝．

∴y＝－×

＋2＝，∴E2（，）．

若BE＝BD，则（x－4）2＋（－x＋2）2＝22．

整理得5x2－24x＋16＝0，解得x1＝（此时点P在第四象限，舍去），x2＝．

（）＋2＝，∴E3（，）．

②△CDP有最大面积．

过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3．

设直线PC的解析式为y＝px＋q，将C（0，2），P（m，n）代入，

得解得

∴直线PC的解析式为y＝x＋2，∴M（2，＋2）．

S△CDP＝S△CDM＋S△PDM＝xP·

yM＝m（＋2）

＝m＋n－2＝m＋（－m2＋m＋2）－2＝－m2＋m

＝－（m－）2＋

∴当m＝时，△CDP有最大面积，最大面积为．

此时n＝－×

（）2＋×

＋2＝∴此时点P的坐标为（，）．

（1）对称轴为直线x＝－＝－2，即x＝－2；

令y＝0，得x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．

∵点B的坐标为（－1，0），∴点A的坐标为（－3，0）．

（2）存在，点P的坐标为（－2，3），（2，3）和（－4，－3）．

（3）存在．当x＝0时，y＝x2＋4x＋3＝3，∴点C的坐标为（0，3）．

AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3．

∵DE∥CO，∴△AED∽△AOC．∴＝，即＝．∴DE＝1．

∵DE∥CO，且DE≠CO，∴四边形DEOC为梯形．

S梯形DEOC＝（1＋3）×

2＝4．

设直线CM交x轴于点F，如图．

若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则S△COF＝2

即CO·

FO＝2．∴×

3FO＝2，∴FO＝．∴点F的坐标为（－，0）．

∵直线CM经过点C（0，3），∴设直线CM的解析式为y＝kx＋3．

把F（－，0）代入，得－k＋3＝0．∴k＝．

∴直线CM的解析式为y＝x＋3．

∵∠BCD＋∠ACO＝90°

，∠ACO＋∠CAO＝90°

∴∠BCD＝∠CAO．

又∵∠BDC＝∠COA＝90°

，BC＝CA．

∴Rt△BCD≌Rt△CAO，∴BD＝CO＝1，CD＝AO＝2．

∴点B的坐标为（－3，1）；

（2）把B（－3，1）代入y＝ax2＋ax－2，得1＝9a－3a－2，解得a＝．

∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－2；

①延长BC至点P1，使CP1＝BC，则得到以点C为直角顶点的等腰直角三角形△ACP1．

过点P1作P1M⊥x轴．

∵CP1＝BC，∠P1CM＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°

．∴Rt△P1CM≌Rt△BCD，

∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1（1，－1）；

把x＝1代入y＝x2＋x－2，得y＝－1．∴点P1（1，－1）在抛物线上．

②过点A作AP2⊥AC，且使AP2＝AC，则得到以点A为直角顶点等腰直角三角形△ACP2．

过点P2作P2N⊥y轴，同理可证Rt△P2NA≌Rt△AOC．

P2N＝AO＝2，AN＝CO＝1．可求得点P2（2，1）．

把x＝2代入y＝x2＋x－2，得y＝1．

∴点P2（2，1）在抛物线上．

综上所述，在抛物线上还存在点P1（1，－1）和P2（2，1），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形．

（1）设二次函数的解析式为y＝a（x－4）2－（a≠