届高考仿真模拟试题新课标全国卷ⅡⅢ理科数学十五Word格式.docx

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9．若函数在时取得最小值，则

10．为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全的战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是：

力争到2020年，将马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．某地种植基地将编号分别为的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号为的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在这两块实验田上，则不同的种植方法有

A

B

C

D

E

F

A．432种B．456种C．534种D．720种

11．设等差数列{}的前n项和为，若，，，其中，则的最小值为

A．3B．5C．6D．9

12．已知平行于x轴的直线分别交曲线与于A，B两点，则的最小值为

A．，B．C．D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分．

13．已知随机变量服从正态分布，若，则=．

14．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱中最长棱的长度为．

15．已知斜△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．若

，则△ABC的面积为．

16．已知F为抛物线的焦点，点E在射线：

上，线段EF的垂直平分线与l交于点Q，与抛物线C交于点P，则△PEF的面积为．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

等比数列{}中，，公比，其前n项和为,且成等差数列．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）记，数列{}的前n项和为，求．

18．（本小题满分12分）

如图，在正三棱柱的底面边长为，侧棱长为．

（1）若分别为的中点，判断与平面DEF是否平行？

若平行，请给予证明，若不平行，说明理由；

（2）求与侧面所成角的大小．

19．（本小题满分12分）

某商场的20件不同的商品中有的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为，在国产的商品中高端商品的比例为．

（1）若从这20件商品中按分层（分三层：

进口高端与进口非高端及国产）抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；

（2）在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；

（3）若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利元，求的分布列及数学期望．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的右焦点为,点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得（为椭圆的左焦点）?

若存在，求出直线l的方程；

若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，试问是否存在，使得；

（2）若是曲线上任意一点，求点到直线的最小距离，并求此时点的坐标．

选考部分

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4─4：

坐标系与参数方程

已知圆O：

上每一点的横坐标保持不变，将纵坐标变为原来的，得到曲线C．

（1）写出曲线C的参数方程；

（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求直线m的极坐标方程．

23．（本小题满分10分）选修4─5：

不等式选讲

已知a是常数，对任意实数x，不等式都成立．

（1）求a的值；

（2）设，求证：

．

理科数学（十五）答案

1．C

2．A

3．C

4．A

5．D

6．C

7．D

8．C

9．B

10．A

11．D

12．A

13．0.4

14．

15．

16．

17．【解析】

（1）通解设数列的公比为q，由题意得，，（1分）

.（3分）

化简得，得，（5分）

又数列的首项为，.（6分）

优解设数列的公比为q，由题意得，即，（2分）

即（3分）

公比.（5分）

（2）,（7分）

①（8分）

②（9分）

①②得，,（11分）

.（12分）

18．【解析】

（1）通解连接,交于点，连接，，

则DG∥AC1，（2分）

因为DG平面CDF，平面GDF，

则∥平面GDF．（4分）

由于平面GDF平面DEF=DF，

故与平面DEF不可能平行．（6分）

优解连接,交于点，连接DG，FG，则DG∥，（2分）

而DG平面DEF，且DG与平面DEF交于点D，

（2）解法一　过作⊥于P，

由正棱柱的性质可知C1P⊥平面ABB1A1,连接PA,

则∠C1AP为AC1与侧面ABB1A1所成的角.（8分）

由于正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，则AC1=,

又上底面三角形A1B1C1是边长为a的正三角形,因此,C1P=（10分）

在Rt△APC1中,sin∠C1AP=,

故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°

法二　建立如图的空间直角坐标系,则A（0,0,0），C1（‒,,），

由于n=（‒1,0,0）是平面ABB1A1的一个法向量,=（‒,,）,

则cos<

n>

=,故<

=60°

.

19．【解析】

（1）由题意得,进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品,国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1．（3分）

（2）设事件B为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件为“抽取的3件商品中,有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则

P（B）=P（）+P（）=+=，

所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是.（7分）

（3）由于这批商品中仅有5件国产商品,其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品,或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240．

P（ξ=180）==，P（ξ=210）==，P（ξ=240）=．（10分）

所以ξ的分布列为

ξ

180

210

240

P

故Eξ=180×

+210×

+240×

=204．

20．【解析】

（1）解法一椭圆C的右焦点为，

，椭圆C的左焦点为.（1分）

由椭圆的定义可得，

解得，

椭圆C的标准方程为.（5分）

解法二椭圆C的右焦点为，，故，

又点在椭圆C上，则故，

化简得得

（2）假设存在满足条件的直线，设直线的方程为，（6分）

由得，即，

解得.（8分）

设，则（9分）

由于，设线段MN的中点为E，则故，

又,，即，（11分）

，解得.

当时，不满足，

不存在满足条件的直线l.（12分）

21．【解析】

（1）由⇒，（2分）

若，当时，，单调递减，

由此可得当时，的值域为．（4分）

由⇒，

显然，当时，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

因此，当时，单调递增，

由此可得当时，的值域为．（7分）

若存在，使得，则只需，即，

由于，故必存在，使得．（9分）

（2）设与直线平行且与曲线相切的直线的斜率为，切点坐标为，由于，则

⇒或（舍去），得切点坐标为，

此时切线的方程为，即，（10分）

令，

则=，

由于函数的定义域为，于是当时，，函数单调递减；

故当时，有极小值，也是最小值，且，故曲线恒在直线的上方．

所以点到直线的距离即点P到直线的最小距离，且最小距离为，

点P的坐标为．（12分）

22．【解析】

（1）设曲线上任意一点为，则点在圆上，

即，即，所以曲线的参数方程为

（为参数）．（5分）

（2）联立，解得或，

不妨设，则的中点为，

因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，

所以，

所以直线的方程为，即，

于是直线的极坐标方程为．（10分）

23．【解析】

（1）设，则

的最大值为3．

对任意实数，都成立，即，（3分）

设

则的最小值为3．

对于任意实数，都成立，即

．（6分）

（2）由

（1）知．

，

且，

．（10分）