线性定常控制系统的综合设计文档格式.docx

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从反馈信号的来源或引出点分，系统反馈主要有状态反馈和输出反馈两种基本形式；

从反馈信号的作用点或注入点分，又有反馈至状态微分处和反馈至控制输入处两种基本形式。

8.6.1状态反馈与极点配置系统状态可测量是用状态反馈进行极点配置的前提。

状态反馈有两种基本形式：

一种为状态反馈至状态微分处；

另一种为状态反馈至控制输入处。

前者可以任意配置系统矩阵，从而任意配置状态反馈系统的极点，使系统性能达到最佳，且设计上只须将状态反馈阵与原有的系统矩阵合并即可，但是需要为反馈控制量增加新的注入点，否则无法实施反馈控制，显然这在工程上往往是难以实现的；

而后者是状态反馈控制信号与原有的控制输入信号叠加后在原控制输入处注入，正好解决了反馈控制量的注入问题，工程可实现性较好，因此本书对后者进行重点介绍。

设单输入系统的动态方程为状态向量x通过待设计的状态反馈矩阵k，负反馈至控制输入处，于是（8-183）从而构成了状态反馈系统（见图8-24）。

图8-24状态反馈至控制输入状态反馈系统的动态方程为（8-184）式中，k为（1´

n）矩阵，称为闭环状态阵，闭环特征多项式为。

显见引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，矩阵均无改变。

定理用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是系统可控。

证明这里仅对单输入系统进行证明。

设单输入系统可控，通过，将状态方程化为可控标准型，有在变换后的状态空间内，引入状态反馈阵（8-185）（8-186）这里，分别由引出反馈系数，故变换后的状态方程为（8-187）式中（8-188）仍为可控标准型，故引入状态反馈后，系统可控性不变。

其闭环特征方程为（8-189）于是，适当选择，可满足特征方程中n个任意特征值的要求，因而闭环极点可任意配置。

充分性得证。

再证必要性。

设系统不可控，必有状态变量与输入u无关，不可能实现全状态反馈。

于是不可控子系统的特征值不可能重新配置，传递函数不反映不可控部分的特性。

必要性得证。

经典控制中的调参及校正方案，其可调参数有限，只能影响特征方程的部分系数，比如根轨迹法仅能在根轨迹上选择极点，它们往往作不到任意配置极点；

而状态反馈的待选参数多，如果系统可控，特征方程的全部n个系数都可独立任意设置，便获得了任意配置闭环极点的效果。

对在变换后状态空间中设计的k应换算回到原状态空间中去，由于故（8-190）对原受控系统直接采用状态反馈阵k，可获得于式（8-190）相同的特征值，这是因为线性变换后系统特征值不变。

实际求解状态反馈阵时，并不一定要进行到可控标准型的变换，只需校验系统可控，计算特征多项式（其系数均为的函数）和特征值，并通过与具有希望特征值的特征多项式相比较，便可确定k矩阵。

一般k矩阵元素越大，闭环极点离虚轴越远，频带越宽，响应速度越快，但稳态抗干扰能力越差。

状态反馈对系统零点和可观测性的影响，是需要注意的问题。

按照可控标准型实施的状态反馈只改变友矩阵A的最后一行，即的值，而不会改变C和b，因此状态反馈系统仍是可控标准型。

因为非奇异线性变换后传递函数矩阵不变，故原系统的传递函数矩阵为而状态反馈系统的传递矩阵为（8-191）显然，的分子相同，即引入状态反馈前、后系统闭环零点不变。

因此，当状态反馈系统存在极点与零点对消时，系统的可观测性将会发生改变，原来可观测的系统可能变为不可观测，原来不可观测的系统则可能变为可观测。

只有当状态反馈系统的极点中不含原系统的闭环零点时，状态反馈才能保持原有的可观测性。

这个结论仅适用于单输入系统，对多输入系统不适用。

根据经典控制理论，闭环零点对系统动态性能是有影响的，故在极点配置时，须予以考虑。

例8-36设系统传递函数为，试用状态反馈使闭环极点配置在－2，－1。

解该系统传递函数无零、极点对消，故系统可控可观测。

其可控标准型实现为状态反馈矩阵为状态反馈系统特征方程为期望闭环极点对应的系统特征方程为由两特征方程同幂项系数应相同，可得即系统反馈阵将系统闭环极点配置在－2，－1。

例8-37设受控系统的状态方程为，试用状态反馈使闭环极点配置在－1。

解由系统矩阵为对角阵，显见系统可控，但不稳定。

设反馈控制律为，，则闭环特征多项式为因此，最后，闭环系统的状态方程为例8-38设受控系统传递函数为，综合指标为：

①超调量：

；

②峰值时间：

③系统带宽：

④位置误差。

试用极点配置法进行综合。

解

（1）列动态方程：

如图8-25所示，本题要用带输入变换的状态反馈来解题，原系统可控标准型动态方程为

（2）根据技术指标确定希望极点：

系统有三个极点，为方便，选一对主导极点，另外一个为可忽略影响的非主导极点。

由第3章，已知的指标计算公式为：

式中，分别为阻尼比和自然频率。

将已知数据代入，从前两个指标可以分别求出：

代入带宽公式，可求得；

综合考虑响应速度和带宽要求，取。

于是，闭环主导极点为，取非主导极点为。

（3）确定状态反馈矩阵k：

状态反馈系统的特征多项式为由此，求得状态反馈矩阵为（4）确定输入放大系数状态反馈系统闭环传递函数为：

令有，可以求出。

8.6.2输出反馈与极点配置图8-26输出反馈至控制输入图8-27输出反馈至状态微分同状态反馈类似，输出反馈也有两种基本形式：

一种是将输出量反馈至控制输入处（图8-26）；

另一种是将输出量反馈至状态微分处（图8-27）。

由于输出量一般是可测量的，因此输出反馈工程上容易实现。

下面以多输入-单输出系统为例来讨论，原因是对单输入－单输出系统，将输出通过常数矩阵反馈至控制输入处不能任意配置高阶系统的闭环极点。

输出反馈至控制输入处的系统动态方程为（8-192）即（8-193）式中，h为输出反馈阵。

定理用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是系统可观测。

证明用对偶定理来证明。

若S（A，B，C）可观测，则对偶系统S（）可控，由状态反馈极点配置定理已知，（）的特征值可任意配置，但（）的特征值与[]的特征值是相同的，故当且仅当S（）可观测时，可以任意配置（）的特征值。

证毕。

该定理的证明也可以用与状态反馈配置极点定理证明类似的步骤进行，输出至状态微分的反馈系统仍是可观测的，闭环零点也未改变，原系统的可控性可能会发生变化。

为根据期望闭环极点位置来设计输出反馈矩阵H的参数，只须将期望系统的特征多项式与该输出反馈系统特征多项式相比较即可。

输出量反馈至参考输入的输出反馈系统的动态方程为（8-194）被控对象的总输入为（8-195）式中，输出反馈阵为（p）维，若令FC=k，该输出反馈便等于为状态反馈。

由结构图变换原理可知，比例的状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必含有输出量的各阶导数，于是F矩阵不是常数矩阵，这会给物理实现带来困难，因而其应用受限。

如果p＝n，适当选择F，可使特征值任意配置；

可推论，当F是常数矩阵时，对高于p阶的系统，便不能任意配置极点。

输出至输入的反馈不会改变原系统的可控性和可观测性（证略）。

8.6.3状态重构与状态观测器设计在极点配置时，状态反馈明显优于输出反馈，但需用传感器对所有的状态变量进行测量，工程上不一定可实现；

输出量一般是可测的，然而输出反馈至状态微分处，在工程上同样也难以实现，但是如果反馈至控制输入处，往往又不能任意配置系统的闭环极点。

将两种反馈方案综合起来，扬长避短，于是就提出了利用系统的输出，通过状态观测器重构系统的状态，然后将状态估计值（计算机内存变量）反馈至控制输入处来配置系统极点的方案。

当重构状态向量的维数与系统状态的维数相同时，观测器称为全维状态观测器，否则称为降维观测器。

显然，状态观测器可以使状态反馈真正得以实现。

1.全维状态观测器及其状态反馈系统组成结构设系统动态方程为可构造一个结构与之相同，但由计算机模拟的系统（8-196）式中，分别为模拟系统的状态向量及输出向量。

当模拟系统与受控对象的初始状态相同时，有，于是可用作为状态反馈信息。

但是，受控对象的初始状态一般不可能知道，模拟系统状态初值只能预估值，因而两个系统的初始状态总有差异，即使两个系统的A、B、C矩阵完全一样，估计状态与实际状态也必然存在误差，用代替，难以实现真正的状态反馈。

但是的存在必导致的存在，如果利用，并负反馈至处，控制尽快衰减至零，从而使也尽快衰减至零，便可以利用来形成状态反馈。

按以上原理构成的状态观测器并实现状态反馈的方案如图8-28所示。

状态观测器有两个输入即u和y，其输出为，含n个积分器并对全部状态变量作出估计。

H为观测器输出反馈矩阵，它是前面介绍过的一种输出反馈，目的是配置观测器极点，提高其动态性能，使尽快逼近于零。

图8-28用全维状态观测器实现状态反馈原理2.全维状态观测器分析设计由图8-28，可得全维状态观测器动态方程为（8-197）故（8-198）式中，称为观测器系统矩阵，H为维矩阵。

为了保证状态反馈系统正常工作，重构的状态