第一章集合与常用逻辑用语Word下载.docx
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实数集
记法
N
N*或N+
Z
Q
R
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
求元素(个数)或已知元素个数求参数
[例1]
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3
C.5D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.
B.
C.0D.0或
[解析]
(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素.
(2)当a=0时,显然成立;
当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=
.故a=0或
.
[答案]
(1)C
(2)D
[方法技巧]
求元素(个数)的方法
高考中,常利用集合元素的互异性确定集合中的元素,一般给定一个新定义集合,如“已知集合A,B,求集合C={z|z=x*y,x∈A,y∈B}(或集合C的元素个数),其中‘*’表示题目设定的某一种运算”.具体的解决方法:
根据题目规定的运算“*”,一一列举x,y的可能取值(应用列举法和分类讨论思想),从而得出z的所有可能取值,然后根据集合元素的互异性进行检验,相同元素重复出现只算作一个元素,判断出该集合的所有元素,即得该集合元素的个数.
元素与集合的关系
[例2]
(1)设集合A={2,3,4},B={2,4,6},若x∈A,且x∉B,则x=( )
A.2B.3C.4D.6
(2)(2017·
成都诊断)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
[解析]
(1)因为x∈A,且x∉B,故x=3.
(2)因为3∈A,
所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,
即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,
解得m=-
或m=1(舍去),
当m=-
时,m+2=
≠3符合题意.
所以m=-
[答案]
(1)B
(2)-
[方法技巧]
利用元素的性质求参数的方法
已知一个元素属于集合,求集合中所含的参数值.具体解法:
(1)确定性的运用:
利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值.
(2)互异性的运用:
根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.
设集合P={x|x2-
x≤0},m=30.5,则下列关系正确的是( )
A.m
PB.m∈P
C.m∉PD.m⊆P
解析:
选C 易知P={x|0≤x≤
},而m=30.5=
>
,∴m∉P,故选C.
2.[考点一]已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )
A.3B.6
C.8D.9
选D 集合B中的元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.
3.[考点二](2017·
杭州模拟)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=( )
A.1B.-1
C.2D.-2
选C 因为{1,a+b,a}=
,a≠0,所以a+b=0,则
=-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
4.[考点一]已知P={x|2<
x<
k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为________.
因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5<
k≤6.
答案:
(5,6]
5.[考点一]若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=________.
当a=0时,方程无解;
当a≠0时,则Δ=a2-4a=0,解得a=4.故符合题意的a的值为4.
4
突破点
(二) 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A的每一个元素都是集合B的元素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A⊆B且B⊆A⇔A=B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
集合子集个数的判定
含有n个元素的集合,其子集的个数为2n;
真子集的个数为2n-1(除集合本身);
非空真子集的个数为2n-2(除空集和集合本身,此时n≥1).
[例1] 已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析] 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的集合C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
[答案] D
[易错提醒]
(1)注意空集的特殊性:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
(2)任何集合的本身是该集合的子集,在列举时千万不要忘记.
集合间的关系
考法
(一) 集合间关系的判定
[例2] 已知集合A={x|y=
,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BA
C.A⊆BD.B=A
[解析] 由题意知A={x|y=
,x∈R},
所以A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},
所以BA.故选B.
[答案] B
[方法技巧]
判断集合间关系的三种方法
(1)列举法:
根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系.
(2)结构法:
从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断.
(3)数轴法:
在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系.
[提醒] 在用数轴法判断集合间的关系时,其端点能否取到,一定要注意用回代检验的方法来确定.如果两个集合的端点相同,则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系.
考法
(二) 根据集合间的关系求参数
[例3] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
[解析] ∵B⊆A,∴①若B=∅,
则2m-1<
m+1,此时m<
2.
②若B≠∅,则
解得2≤m≤3.由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3].
[答案] (-∞,3]
将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时,应注意子集与真子集的区别,此类问题多与不等式(组)的解集相关.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易产生增解或漏解.
1.[考点一]集合A={x∈N|0<
4}的真子集个数为( )
A.3B.4
C.7D.8
选C 因为A={1,2,3},所以其真子集的个数为23-1=7.
2.[考点二·
考法
(一)](2017·
长沙模拟)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( )
A.P⊆QB.Q⊆P
C.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP
选C 因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},
所以∁RP={y|y>
1},又Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>
0},所以∁RP⊆Q,故选C.
3.[考点二·
考法
(二)]已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a=( )
A.1B.0C.-2D.-3
选C ∵A⊆B,∴a+3=1,解得a=-2.故选C.
4.[考点二·
考法
(二)]已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.
集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].
(-∞,-2]
突破点(三) 集合的基本运算
1.集合的三种基本运算
符号表示
图形表示
符号语言
集合的并集
A∪B
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
集合的交集
A∩B
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
集合的补集
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
2.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∪A=A,A∪∅=A.
(2)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
求交集或并集
[例1]
(1)(2016·
全国甲卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<
0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1}B.{1,2}
C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}
(2)(2016·
全国乙卷)设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
B.
C.
D.
[解析]
(1)因为B={x|(x+1)(x-2)<
0,x∈Z}={x|-1<
2,x∈Z}={0,1},A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.
(2)∵x2-4x+3<
0,∴1<
3,∴A={x|1<
3}.∵2x-3>
0,∴x>
,∴B=
.∴A∩B={x|1<
3}∩
=
求集合的交集或并集时,应先化简集合,再利用交集、并集的定义求解.
交、并、补的混合运算
[例2]
(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=( )
A.{2,5} B.{3,6}
C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}
(2)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<
1}
[解析]
(1)因为∁UB={2,5,8},所以A∩∁UB={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.
(2)∵A∪B=