高等数学考研知识点总结.docx
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高等数学考研知识点总结
第一讲函数、极限与连续
一、考试要求
1.理解函数的概念,掌握函数的表示方法,会建立应用问题的函数关系。
2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
5.理解(了解)极限的概念,理解(了解)函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握(了解)极限的性质,掌握四则运算法则。
7.掌握(了解)极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握(会)利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限。
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
11.掌握(会)用洛必达法则求未定式极限的方法。
二、内容提要
1、函数
(1)函数的概念:
y=f(x),重点:
要求会建立函数关系.
(2)复合函数:
y=f(u),u=,重点:
确定复合关系并会求复合函数的定义域.
(3)分段函数:
注意,为分段函数.
(4)初等函数:
通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。
(5)函数的特性:
单调性、有界性、奇偶性和周期性
*注:
1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。
特别:
若为偶函数且存在,则
2、若为偶函数,则为奇函数;
若为奇函数,则为偶函数;
3、可导周期函数的导函数为周期函数。
特别:
设以为周期且存在,则。
4、若f(x+T)=f(x),且,则仍为以T为周期的周期函数.
5、设是以为周期的连续函数,则
,
6、若为奇函数,则;
若为偶函数,则
7、设在内连续且存在,
则在内有界。
2、极限
(1)数列的极限:
(2)函数在一点的极限的定义:
(3)单侧极限:
1)左右极限
2)极限存在的充要条件:
(4)极限存在的准则
1)夹逼定理:
数列情形,函数情形
2)单调有界数列必有极限
(5)极限的基本性质:
唯一性,保号性,四则运算
*1)极限不等式
注:
不成立
2)局部保号性
则在某内
3)局部有界性则在某内有界。
4)
(6)两类重要极限
(7)无穷小量与无穷大量
1)无穷小量;2)无穷大量;(注意与无界变量的差异)
3)无穷小量与无穷大量的关系
(8)无穷小量阶的比较
(9)罗比达法则
3、连续
1)连续的定义
2)区间上的连续函数
3)间断点及其分类
4)闭区间上连续函数的性质:
有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理
三、*重要公式与结论
1、常见极限不存在的情形:
1)
方法:
用无穷小量乘有界变量
2)
方法:
分或讨论.
2、
特别:
若
3、无穷小量的等价代换
若,则有
特别注意:
(,
(),(),
设,且~,~
(1)
(2)
(3)
(4)若,则
(0712)当时,与等价的无穷小量是
(A)(B)
(C)(D)
4、若
由此有
5、极限的形式与关系
(1)
(2)
(3),
6、若,则
(i)
(ii)
若,则
(i)
(ii)
7、设在处连续,则
(1)
(2)
(3)
(4)不存在
四、典型题型与例题
题型一、函数的概念和性质
例1、设,则=
(A)0(B)1(C)(D)
例2、对下列函数
(1)
(2)(3)
在(0,1)内有界的有()个
(A)0(B)1(C)2(D)3
例3、(0434)函数在下列哪个区间内有界
(A)(-1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)
例4、(0534)以下四个命题中正确的是()
(A)若在(0,1)内连续,则在(0,1)内有界
(B)若在(0,1)内连续,则在(0,1)内有界
(C)若在(0,1)内有界,则在(0,1)内有界
(D)若在(0,1)内有界,则在(0,1)内有界
例5、(051、2)设是连续函数的一个原函数,则必有
(A)是偶函数是奇函数
(B)是奇函数是偶函数
(C)是周期函数是周期函数
(D)是单调函数是单调函数
题型二、极限的概念和性质
例6、当时,是
(A)无穷小(B)无穷大(C)有界的但不是无穷小(D)无界的但不是无穷大
例7、设对,总有,且,则
(A)存在且等于0(B)存在但一定不为0
(C)一定不存在(D)不一定存在
例8、已知在处连续,且,求
题型三、求函数的极限
基本思路:
1、先化简
(1)约掉零因子(无穷因子)
(2)提出极限不为零的因子
(3)根式有理化
(4)无穷小替换
(5)变量替换(尤其是倒代换)
2、再用洛必达法则或其它求极限的方法
3、上述步骤可重复进行
1、常规方法:
1)运算法则,
2)无穷小量等价代换,
3)洛必塔法则
1)用运算法则应注意的问题
例9、求极限
例10、求极限
罗毕达法则1、或型
1、先化简
2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式
3、综合题(结合导数的定义等)
例11、求
例12、求极限
例13、(042)求极限
例14、(0734)=
罗毕达法则2、型
型未定式有两种处理方法
或
例15、求
例16、
例17、(101)极限
(A)1.(B).(C).(D).【】
罗毕达法则3、其他类型
1、型转化为型,用洛必达法则等
2、
3、型(i)通分(ii)变量替换(重点倒代换)
转化为型。
4、不是未定式
例18、求极限
例19.(0434)求
2、变形方法:
1)变量代换;2)导数定义;
3)泰勒公式;特别若f(x)二阶连续可导,则有
例20、设f(x)连续,f(0)=0,f(0)0,求
例21、求下列极限(泰勒公式)
[,]
例22、求
法一、有理化,无穷小替换、洛必达法则
法二、泰勒公式
3、抽象函数
例23、若,求。
题型四、求数列的极限
思路:
1、转化为函数的极限。
2、数列用递推公式给出,可考虑单调有界原理。
3、对通项适当放大(缩小),用夹逼准则。
4、和(积)的极限,可考虑用定积分的定义。
1、利用函数极限求数列的极限
方法:
1、
2、若
例24、求
2、利用数列的收敛准则
(1)、两个准则
(2)、已知可导
1)若,则单调,且
2)若,则不单调
(3)、若存在使得
,则
例25、设证明,并求其解。
例26、设证明,并求其解。
3、利用定积分定义(适合n项求和的情形)
思路:
1、求出项和或积(积可转化为和),再求极限。
2、利用夹逼准则。
3、利用定积分的定义
4、利用已知级数的和。
公式:
1)
2)
例27、等于
(A)(B)(C)(D)
例28、求
3、其他方法
例29、(用级数收敛性)
解:
考虑级数由于
级数收敛,所以=0
例30、(用中值定理)
解:
用拉格朗日中值定理
(介与之间)
=)
因而=
题型五、反问题
求已知极限中的待定参数,函数值,导数及函数等
命题方式:
1、已知极限存在
2、已知无穷小阶的比较
3、已知函数的连续性或间断点类型
思路:
1、将极限转化为
2、洛必达法则
3、泰勒公式
例31、已知求的值
例31、已知当时,是的高阶无穷小,
求值
例33、(022)已知在可导,,且
满足,求
题型六、无穷小量的比较
1、掌握低阶无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小等概念
2、当时,,若,
则
例34、设函数则当时,是的
(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小
例35、(0412)把时的无穷小
,从高阶到低阶排列
例36、设f(x)连续,且当x→0时,F(x)=是与x3等价的无穷小量,则f(0)=.
例37、(103)设f(x)=ln10x,g(x)=x,h(x)=,则当x充分大时有
(A)g(x)(C)f(x)题型七、判断函数的连续性与间断点的类型
1、初等函数在其有定义的区间内是连续的。
2、连续隐含的条件。
3、会判断函数的连续性
(特别是分段函数在分界点处的连续性,要考虑左右极限)。
4、会求函数的间断点,并能判断其类型。
5、闭区间上连续函数的性质。
例38、设在处连续,求的值
例39、设f(x)=,则f(x)有().
(A)两个第一类间断点
(B)三个第一类间断点
(C)两个第一类间断点和一个第二类间断点
(D)一个第一类间断点和一个第二类间断点
例40、(103)函数的无穷间断点数为
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【】