概率论与数理统计习题详解.docx

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概率论与数理统计习题详解

一、第三章习题详解：

设二维随机向量的分布函数为:

求.

解：

因为，

，

所以

盒中装有3个黑球,2个白球.现从中任取4个球,用X表示取到的黑球的个数,用Y表示取到的白球的个数,求（X,Y）的概率分布.

解：

因为X+Y=4，所以（X,Y）的可能取值为（2,2）,（3,1）

且，

，

故（X,Y）的概率分布为

X\Y

1

2

2

0

3

0

将一枚均匀的硬币抛掷3次,用X表示在3次中出现正面的次数,用Y表示3次中出

现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求（X,Y）的概率分布.

解：

因为，又X的可能取值为0,1,2,3

所以（X,Y）的可能取值为（0,3）,（1,1）,（2,1）,（3,3）

且，

，

故（X,Y）的概率分布为

X\Y

1

3

0

0

1/8

1

3/8

0

2

3/8

0

3

0

1/8

设二维随机向量的概率密度函数为:

（1）确定常数;

（2）求

（3）求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.

解：

（1）因为

由，得9a=1，故a=1/9.

（2）

（3）

设二维随机向量的概率密度函数为:

（1）求分布函数;

（2）求

解：

（1）求分布函数;当，

其他情形，由于=0，显然有=0。

综合起来，有

（2）求

向一个无限平面靶射击,设命中点的概率密度函数为

求命中点与靶心（坐标原点）的距离不超过a的概率.

解：

设二维随机向量的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.

X\Y

0

2

5

1

3

解：

因为

所以，X的边缘分布为

X

1

3

P

因为

所以，Y的边缘分布为

Y

0

2

5

P

设二维随机向量的概率密度函数为

求边缘概率密度.

解：

因为，当时，；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为

又因为，当时，

其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为

设二维随机向量的概率密度函数为

求边缘概率密度.

解，积分区域显然为三角形区域，当时，，因此；

其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为

同理，当时，因此

其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为

设二维随机向量的概率密度函数为

（1）确定常数c的值.

（2）求边缘概率密度.

解：

（1）因为

所以c=6.

（2）因为，当时，

所以，X的边缘分布密度为

又因为，当时，

所以，Y的边缘分布密度为

求习题中的条件概率分布.

解：

由知，X、Y的边缘分布分别是

X

1

3

Y

0

2

5

P

P

（1）当X=1时，Y的条件分布为

即

Y

0

2

5

P

1/5

1/3

7/15

（2）当X=3时，Y的条件分布为

即

Y

0

2

5

P

1/5

18/25

2/25

（3）当Y=0时，X的条件分布为

即

X

1

3

P

3/4

1/4

（4）当Y=2时，X的条件分布为

即

X

1

3

P

（5）当Y=5时，X的条件分布为

即

X

1

3

P

设X在区间（0,1）上随机地取值,当观察到X=x（0

随机地取值,求Y的概率密度函数.

解：

因为，

所以（X,Y）的联合密度为

于是

故Y的密度函数为

设二维随机向量的概率密度函数为

求条件概率密度以及.

解：

因为，当时，

又当时，

所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为

在X=x的条件下Y的条件概率密度为

问习题中的X与Y是否相互独立？

解:

由知，X、Y的边缘分布分别是

X

1

3

Y

0

2

5

P

P

,而,显然

从而X与Y不相互独立.

设二维随机向量的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.

X\Y

0

2

5

1

3

问取何值时,X与Y相互独立?

解：

因为，

要X和Y相互独立，则

即，得

由，得

即，得

问习题和习题中的X与Y是否相互独立？

解：

由习题，二维随机向量的概率密度函数为

X的边缘分布密度为，Y的边缘分布密度为

，显然有，X与Y相互独立.

由习题,维随机向量的概率密度函数为

X的边缘分布密度为，Y的边缘分布密度为

显然有，X与Y不独立.

设二维随机向量的概率密度函数为

问X与Y是否相互独立?

解：

因为

对于x>0,y>0，都有,所以，X与Y是相互独立的.

设二维随机向量的分布函数为

讨论的独立性.

解：

因为

由于

所以，X与Y是相互独立的。

设X与Y是两个相互独立的随机变量,并且均服从区间（0,1）上的均匀分布,求X+Y

的概率密度函数.

解：

由于X与Y均服从区间（0,1）上的均匀分布，故X与Y的边缘密度函数分别为：

，

记,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为

当时,若，则；若或，被积函数为0，此时显然有.

当时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；

的其他情形,显然有=0.综合起来，有

此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,当时，积分区域要分成两个部分.

设X与Y是两个相互独立的随机变量,概率密度函数分别为

求的概率密度函数.

解：

记,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,

的概率密度函数可以写为，于是有

设二维随机向量的概率密度函数为

求的概率密度函数.

解:

根据书中72页（3.7.1）式,的概率密度函数可以写为

当时,若，

则，

若或，被积函数为0，此时显然有；

当时，若,

则，

若或，被积函数为0，此时显然有；

的其他情形,显然有.综合起来，有

设随机变量服从参数为的指数分布,并且与相互独立,求的概率密度函数.

解：

由于所以分布函数为

由于服从参数为的指数分布，所以分布函数为

与相互独立，故的分布函数为

对分布函数求导以后得的密度函数

设随机变量,并且与相互独立,求的概率密度函数.

解：

由于所以分布函数为

由于，所以分布函数为

与相互独立，故的分布函数为

对分布函数求导以后得的密度函数

设随机变量相互独立,并且都服从正态分布,求的概率密度函数.

解：

由于相互独立,根据P76公式（3.8.4），易知，于是的概率密度函数为：

其中，

对某种电子装置的输出测量了5次,得到观察值.设它们是相互独

立的随机变量,且有相同的概率密度函数,求的分布函数.

解：

由题意，的分布函数为：

又由于，是相互独立的随机变量,根据书中77页（3.8.6）式,的分布函数为：

设电子元件的寿命X（单位:

小时）的概率密度函数为

今测试6个元件,并记录下它们各自的失效时间.求

（1）到800小时时没有一个元件失效的概率;

（2）到3000小时时所有元件都失效的概率.

解：

电子元件的寿命X（单位:

小时）的分布函数为：

（1）一个元件使用到800小时时没有一个失效的概率为

=，由于6个元件显然彼此独立，因此，到800小时时没有一个元件失效的概率为

二、第三章定义、定理、公式、公理小结及补充：

（1）联合分布

离散型

如果二维随机向量的所有可能取值为至多可列个有序对，则称为离散型随机向量。

设=的所有可能取值为，且事件{=}的概率为pij,,称

为=的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

Y

X

y1

y2

…

yj

…

x1

p11

p12

…

p1j

…

x2

p21

p22

…

p2j

…

xi

pi1

…

…

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）

连续型

对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a

则称为连续型随机向量；并称为=的分布密度或称为的联合分布密度。

分布密度具有下面两个性质：

（1）≥0;

（2）

（2）二维随机

变量的本质

（3）联合分布

函数

设为二维随机变量，对于任意实数,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数具有以下的基本性质：

（1）

（2）分别对和是非减的，即

当时，有;当时，有;

（3）分别对和是右连续的，即

（4）

（5）对于

.

（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

；

Y的边缘分布为

。

连续型

X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件分布

离散型

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

；

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）独立性

一般型

F（X,Y）=FX（x）FY（y）

离散型

有零不独立

连续型

f（x,y）=fX（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

＝0

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图、图和图。

y

1

D1

O1x

图

y

1

O2x

图

y

d

c

Oabx

图

（9）二维正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（

但是若X～N（，（X，Y）未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

对于连续型，fZ（z）＝

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。

n个相