湘教版初中数学八年级下册全册教案文档格式.docx

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✧2.6.1菱形的性质

✧2.6.2菱形的判定

✧2.7正方形

✧3.1第1课时平面直角坐标系

✧3.1第2课时利用直角坐标系和方位描述物体间的位置

✧3.2简单图形的坐标表示

✧3.3第1课时轴对称的坐标表示

✧3.3第2课时平移的坐标表示

✧4.1.1变量与函数

✧4.1.2函数的表示法

✧4.2一次函数

✧4.3第1课时正比例函数的图象和性质

✧4.3第2课时一次函数的图象和性质

✧4.4用待定系数法确定一次函数表达式

✧4.5第1课时利用一次函数解决实际问题

✧4.5第2课时建立一次函数模型解决预测类型的实际问题

✧4.5第3课时一次函数与一次方程的联系

✧5.1频数与频率

✧5.2频数直方图

第1章直角三角形

1．1　直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

第1课时　直角三角形的性质和判定

1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；

（重点）

2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．（重点、难点）

一、情境导入

在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．

二、合作探究

探究点一：

直角三角形两锐角互余

如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°

，则∠CEF等于（　　）

A．110°

B．100°

C．80°

D．70°

解析：

∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°

－∠A＝90°

－20°

＝70°

，∴∠ABC＝∠1＝70°

，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°

，即∠CEF＝180°

－∠1＝180°

－70°

＝110°

.故选A.

方法总结：

熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

探究点二：

有两个角互余的三角形是直角三角形

如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：

△EOF是直角三角形．

三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°

即可，而∠E＝（180°

－∠BCD），∠F＝（180°

－∠ABC），由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°

，即问题得证．

证明：

∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°

，∴∠F＝（180°

－∠ABF）．同理，∠E＝（180°

－∠ECD）．∴∠E＋∠F＝180°

－（∠ABF＋∠ECD）．∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠ECD＝180°

.∴∠E＋∠F＝180°

－×

180°

＝90°

，∴△EOF是直角三角形．

由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°

，如果一个三角形中有两个角的和为90°

，可知该三角形为直角三角形．

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

探究点三：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．

（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；

（2）求证：

EF垂直平分AD.

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；

（2）根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．

（1）解：

∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×

10＝5，DF＝AF＝AC＝×

8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；

（2）证明：

∵DE＝AE，DF＝AF，∴E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平分线上的点，∴EF垂直平分AD.

当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

探究点四：

直角三角形性质的综合运用

【类型一】利用直角三角形的性质证明线段关系

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°

，EF为AB的垂直平分线，交BC于F，交AB于点E.求证：

FC＝2BF.

根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到△AFB为等腰三角形．又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°

，进而求得∠FAC＝90°

.取CF的中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明．

如图，取CF的中点M，连接AF、AM.∵EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF.∴∠BAF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝120°

，∴∠B＝∠BAF＝∠C＝（180°

－120°

）＝30°

.∴∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°

.在Rt△AFC中，∠C＝30°

，M为CF的中点，∴∠AFM＝60°

，AM＝FC＝FM.∴△AFM为等边三角形．∴AF＝AM＝FC.又∵BF＝AF，∴BF＝FC，即FC＝2BF.

当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

【类型二】利用直角三角形的性质解决实际问题

如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A、B、C、D处，球放在EF的中点O处，则游戏________（填“公平”或“不公平”）．

游戏是否公平就是判断点A、B、C、D到点O的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF，且O为斜边EF的中点．连接OA、OB、OC、OD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA＝OB＝OC＝OD＝EF，即点A、B、C、D到O的距离相等．由此可得出结论：

游戏公平．

题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题．

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】利用直角三角形性质解动态探究题

如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

，O为BC的中点．

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的数量关系；

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM.请判断△OMN的形状，并证明你的结论．

（1）由于△ABC是直角三角形，O是BC的中点，得OA＝OB＝OC＝BC；

（2）由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO＝∠B＝∠45°

，OA＝OB，又AN＝MB，所以△AON≌△BOM，所以ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，于是有∠NOM＝∠AOB＝90°

，所以△OMN是等腰直角三角形．

解：

（1）连接AO.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，O为BC的中点，∴OA＝BC＝OB＝OC，即OA＝OB＝OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：

∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°

，∴OA＝OB，∠NAO＝∠CAB＝∠B＝45°

，AO⊥BC，又AN＝BM，∴△AON≌△BOM，∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°

，∴△MON是等腰直角三角形．

解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．直角三角形的性质

性质一：

直角三角形的两锐角互余；

性质二：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

2．直角三角形的判定

方法一：

一个角是直角的三角形是直角三角形；

方法二：

两锐角互余的三角形是直角三角形．

通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点

第2课时　含30°

1．理解并掌握含30°

锐角的直角三角形的性质；

2．能利用含30°

锐角的直角三角形的性质解决问题．（难点）

用两个全等的含30°

角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？

说说理由，并把你的发现和大家交流一下．

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半

等腰三角形的一个底角为75°

，腰长4cm，那么腰上的高是________cm，这个三角形的面积是________cm2.

因为75°

不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°

”可知等腰三角形的顶角为30°

，依题意画出图形，则有∠A＝30°

，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm，S△ABC＝AC·

BD＝×

4×

2＝4（cm2）．故答案为2，4.

作出准确的图形、构造含30°

角的直角三角形是解决此题的关键．

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°

如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC的度数．

根据题意得∠CBA＝30°

，由平行得∠BAD＝30°

，进而可得出结论．

∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°

.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°

.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°

，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°

.

如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°

的角，再利用相关条件求解．　　变式训练：

含30°

锐角的直角三角形性质的应用

如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°

方向；

该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°

航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°

当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间．

根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．

由题意得∠BCD＝90°

－30°

＝60°

，∠BDC＝90°

.∴∠BCD＝∠BDC＝60°

，∴△BCD为等边三角形．在△ABD中，∵∠BAD＝90°

－60°

＝30°

，∠BDC＝60°

，∴∠ABD＝90°

，即△ABD为直角三角形，∴∠ABC＝30