新高考全国卷Ⅰ高考数学试题及答案Word文档格式.docx
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A.1B.−1
C.iD.−i
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有
A.120种B.90种
C.60种D.30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°
,则晷针与点A处的水平面所成角为
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A.62%B.56%
C.46%D.42%
6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:
描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:
天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是
A.B.
C.D.
8.若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f
(2)=0,则满足的x的取值范围是
A.B.
C.D.
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.已知曲线.
A.若m>
n>
0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>
0,则C是圆,其半径为
C.若mn<
0,则C是双曲线,其渐近线方程为
D.若m=0,n>
0,则C是两条直线
10.下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)=
A.B.C.D.
11.已知a>
0,b>
0,且a+b=1,则
A.B.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为,且,定义X的信息熵.
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着的增大而增大
C.若,则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为,且,则H(X)≤H(Y)
三、填空题:
13.斜率为的直线过抛物线C:
y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则=________.
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________.
15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.
16.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°
.以为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.
四、解答题:
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;
若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:
是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________?
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)
已知公比大于的等比数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和.
19.(12分)
为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了天空气中的和浓度(单位:
),得下表:
32
18
4
6
8
12
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中浓度不超过,且浓度不超过”的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的列联表:
(3)根据
(2)中的列联表,判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关?
附:
,
0.0500.0100.001
3.8416.63510.828
20.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:
l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
21.(12分)
已知函数.
(1)当时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
22.(12分)
已知椭圆C:
的离心率为,且过点A(2,1).
(1)求C的方程:
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:
存在定点Q,使得|DQ|为定值.
参考答案
一、选择题
1.C2.D3.C4.B
5.C6.B7.A8.D
二、选择题
9.ACD10.BC11.ABD12.AC
三、填空题
13.14.15.16.
四、解答题
17.解:
方案一:
选条件①.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是,由此可得.
由①,解得.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时.
方案二:
选条件②.
于是,由此可得,,.
由②,所以.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时.
方案三:
选条件③.
由③,与矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
18.解:
(1)设的公比为.由题设得,.
解得(舍去),.由题设得.
所以的通项公式为.
(2)由题设及
(1)知,且当时,.
所以
.
19.解:
(1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且浓度不超过150的天数为,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且浓度不超过150的概率的估计值为.
(2)根据抽查数据,可得列联表:
64
16
(3)根据
(2)的列联表得.
由于,故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
20.解:
(1)因为底面,所以.
又底面为正方形,所以,因此底面.
因为,平面,所以平面.
由已知得.因此平面.
(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,.
由
(1)可设,则.
设是平面的法向量,则即
可取.
所以.
设与平面所成角为,则.
因为,当且仅当时等号成立,所以与平面所成角的正弦值的最大值为.
21.解:
的定义域为,.
(1)当时,,,
曲线在点处的切线方程为,即.
直线在轴,轴上的截距分别为,.
因此所求三角形的面积为.
(2)当时,.
当时,,.
当时,;
当时,.
所以当时,取得最小值,最小值为,从而.
综上,的取值范围是.
22.解:
(1)由题设得,,解得,.
所以的方程为.
(2)设,.
若直线与轴不垂直,设直线的方程为,
代入得.
于是.①
由知,故,
可得.
将①代入上式可得.
整理得.
因为不在直线上,所以,故,.
于是的方程为.
所以直线过点.
若直线与轴垂直,可得.
由得.
又,可得.解得(舍去),.
此时直线过点.
令为的中点,即.
若与不重合,则由题设知是的斜边,故.
若与重合,则.
综上,存在点,使得为定值.