中考汇编 二次函数.docx
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中考汇编二次函数
二次函数
1、（2005年安徽）一列火车自A城驶往B城,沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B）,该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个.
例如,当列车停靠在第x个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的（x-1）个车站发给该站的邮包共（x-1）个,还要装上下面行程中要停靠的（n-x）个车站的邮包共（n-x）个.
（1）根据题意,完成下表:
车站序号
在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
1
n-1
2
（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）
3
2（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）
4
5
…
……
n
（2）根据上表,写出列车在第x车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y（用x、n表示）.
（3）当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多?
（1）
车站序号
在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
1
n-1
2
（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）
3
2（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）
4
3（n-3）-3+（n-4）=4（n-4）
5
4（n-4）-4+（n-5）=5（n-5）
…
……
n
0
（2）y=x（n-x）;（3）当n=18时,y=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81,当x=9时,y取得最大值.所以列车在第9个车站启程时,邮政车厢上邮包的个数最多.
2、（2005年北京）已知：
在平面直角坐标系xOy中，一次函数
的图象与x轴交于点A，抛物线
经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足
（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得
？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）解法一：
∵一次函数
的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线
经过O、A两点
解法二：
∵一次函数
的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线
经过O、A两点
∴抛物线的对称轴为直线
（2）解：
由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO又由
（1）知抛物线的解析式为
∴点D的坐标为（
）
①当
时，
如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为
，它沿x轴翻折后所得劣弧为
，显然
所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切∴点O为切点∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形
∴点D的纵坐标为
∴抛物线的解析式为
②当
时，同理可得：
抛物线的解析式为
综上，⊙D半径的长为
，抛物线的解析式为
或
（3）解答：
抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①当点P在抛物线
上时（如图2）
∵点B是⊙D的优弧上的一点
过点P作PE⊥x轴于点E
由
解得：
（舍去）
∴点P的坐标为
②当点P在抛物线
上时（如图3）
同理可得，
由
解得：
（舍去）∴点P的坐标为
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为
或
3、（长沙市2005）已知抛物线
经过点A（
，0）、B（m，0）（m>0），且与y轴交于点C．
⑴求a、b的值（用含m的式子表示）；
⑵如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；⑶在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与
相似，求m的值．
⑴依题意得有
，解得
∴抛物线的解析式为：
⑵∵
时，
，∴C（0，
）
∵
，∴
，∴
又∵
，∴
⑶如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则P关于对称轴的对称点P’也符合题惫，即P、P’对应的m值相同．下面以点P在对称轴右侧进行分析：
情形一：
如图，ΔABC∽△APB
则
，
过点P作
垂足为D，连PA、PB．在Rt△PDA中，∵
，∴PD=AD，∴可令P（x，x+1）
若点P在抛物线上，
则有
即
，解得
，
∴
（2m，2m+1），
（-1，0）．显然
不合题意舍去．
此时
又由
，得
由①、②有
整理得：
，解得：
.
4、
（长沙市2005）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系．
⑴求y关于x的函数关系式；
⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？
并求这个最大值；
⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
解：
⑴设
，它过点（60，5），（80，4）
∴
解得
∴
⑵
∴当
元时，最大年获得为60万元．…（6分）
⑶令
，得
，整理得：
解得：
，
由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售单价越低，销售量越大所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．
5、（2005年常德）y=（x－1）2＋2的对称轴是直线 （ B ）
A．x=－1B．x=1C．y=－1D．y=1
6、（2005年常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式y=（x－2）2＋3等。
7、（2005年常德）某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算：
今年开关的年产量y（万只）与投入的改造经费x（万元）之间满足
与
成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只．
（1）求年产量y（万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式．（不要求写出x的取值范围）
（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．
1求平均每只开关所需的生产费用为多少元．（用含y的代数式表示）
（生产费用=固定费用+材料费）
2如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？
（销售利润=销售收入－生产费用－改造费用）
（1）10
（2）55（3）略（4）经观察所描各点，它们在二次函数的图象上。
设：
此函数的解析式为
由题意得：
解得：
所以此函数的解析式为
8、（2005常州市）已知抛物线
的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x=3,满足y＜0的x的取值范围是1＜x＜5,将抛物线
向上平移4个单位,则得到抛物线
.
9、（枣庄市2005）已知抛物线
的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，
且经过点A（0，-7）和点B.
（1）求a的取值范围；
（2）若OA=2OB，求抛物线的解析式．
解：
（1）由图可知，b=-7.故抛物线为
又抛物线的顶点在第一象限，开口向下，所以抛物线与x轴有两个不同的交点．
∴
解之，得
.即a的取值范围是
.
（2）设B（x1，o），由OA=20B，得7=2x1，即
.由于
，方程（1-a）x2+8x-7=o的一个根，∴
∴
.故所求所抛物线解析式为
.
10、（枣庄市2005）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，7），B（6，7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是__（1,-8）_______·
11、（南京市2005）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。
镜子的长与宽的比是2：
1。
已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元。
设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米。
（1）求y与x之间的关系式。
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。
（1）y=240x2+180x+45
（2）长1m宽0.5m
12、（丰台区2005）已知二次函数
的图象如图所示，下列结论：
（1）
；
（2）
；（3）
（4）
。
其中正确的结论有：
B
A.4个B.3个C.2个D.1个
13、（丰台区2005）如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）
，连结BP，过P点作
交过点A的直线a于点C（2，y）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。
解：
（1）
A（2，0），C（2，y）在直线a上
，
，
（2）
，
的最大整数值为
当
时，
，
设Q点坐标为
，则
点坐标为
14、（2005年北京市海淀）已知抛物线
.
（1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线
与x轴交于整数点，求m的值；
（3）在
（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.
解：
（1）证明：
令
，则
.因为
=
，所以此抛物线与x轴有两个不同的交点.
（2）因为关于x的方程
的根为
，由m为整数，当
为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点.设
（其中n为整数），则
因为
与
的奇偶性相同，所以
或
解得
.经过检验，当
时，方程
有整数根.所以
.（3）当m=2时，此二次函数解析式为
，则顶点坐标为
.抛物线与x轴的交点为
、
.设抛物线的对称轴与x轴交于点
，则
.在直角三角形
中，由勾股定理，得
.由抛物线的对称性可得，
.又
，即
.所以△ABO为等腰直角三角形.则
.所以
为所求的点.若满足条件的点
在y轴上时，设
坐标为
，过A作AN⊥y轴于N，连结
、
，则
.由勾股定理，有
；
，即
.解得y=1.所以
为所求的点.综上所述，满足条件的M点的坐标为（1，0）或（0，1）.
15、 （兰州市2005）一条抛物线的对称轴是ｘ＝１且与ｘ轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是＿ｙ＝－ｘ２＋２ｘ－１＿＿（任写一个）
16、（兰州市2005）已知二次函数ｙ＝ａｘ２－４ａ图像的顶点坐标为（０，４）矩形ＡＢＣＤ在抛物线与ｘ轴围成的图形内，顶点Ｂ、Ｃ在ｘ轴上，顶点Ａ、Ｄ在抛物线上，且Ａ在Ｄ点的右侧，
（１）求二次函数的解析式
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