高中数学第三章导数及其应用章末复习提升教学案新人教B版选修1.docx

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高中数学第三章导数及其应用章末复习提升教学案新人教B版选修1

2019-2020年高中数学第三章导数及其应用章末复习提升教学案新人教B版选修1

1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，

即＝.

函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率．

2．曲线的切线方程

利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：

（1）判断P点是否在曲线上；

（2）如果曲线y＝f（x）在P（x0，f（x0））处的切线平行于y轴（此时导数不存在），可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′（x0）．

3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．

4．判断函数的单调性

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；

（2）注意在某一区间内f′（x）＞0（或f′（x）＜0）是函数f（x）在该区间上为增（或减）函数的充分不必要条件．

5．利用导数研究函数的极值要注意

（1）极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的．

（2）连续函数f（x）在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．

（3）可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．

6．求函数的最大值与最小值

（1）函数的最大值与最小值：

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值，例如：

f（x）＝x3，x∈（－1,1）．

（2）求函数最值的步骤

一般地，求函数y＝f（x）在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值及端点处的函数值f（a），f（b）；

②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个极值点x0，则f（x0）是函数的最值.

题型一　应用导数解决与切线相关的问题

根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．

例1　已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R）．

（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值．

解　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－.

（1）当a＝2时，f（x）＝x－2lnx，f′（x）＝1－（x>0）,

∴f

（1）＝1，f′

（1）＝－1,

∴y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程为y－1＝－（x－1）,即x＋y－2＝0.

（2）由f′（x）＝1－＝，x>0知：

①当a≤0时，f′（x）>0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

②当a>0时，由f′（x）＝0，解得x＝a;

∵x∈（0，a）时，f′（x）<0，x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0

∴f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a>0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．

跟踪演练1　点P（2,0）是函数f（x）＝x3＋ax与g（x）＝bx2＋c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．

解　因为点P（2,0）是函数f（x）＝x3＋ax与g（x）＝bx2＋c的图象的一个公共点，所以23＋2a＝0①

4b＋c＝0②

由①得a＝－4.所以f（x）＝x3－4x.

又因为两条曲线在点P处有相同的切线，

所以f′

（2）＝g′

（2），

而由f′（x）＝3x2－4得到f′

（2）＝8，

由g′（x）＝2bx得到g′

（2）＝4b，

所以8＝4b，即b＝2，代入②得到c＝－8.

综上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8.

题型二　应用导数求函数的单调区间

在区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递增；在区间（a，b）内，如果f′（x）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递减．

例2　已知函数f（x）＝x－＋a（2－lnx），a＞0.讨论f（x）的单调性．

解　由题知，f（x）的定义域是（0，＋∞），

f′（x）＝1＋－＝.

设g（x）＝x2－ax＋2，二次方程g（x）＝0的判别式Δ＝a2－8.

①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′（x）＞0.此时f（x）是（0，＋∞）上的增函数．

②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有f′（x）＝0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0.此时f（x）也是（0，＋∞）上的增函数．

③当Δ＞0即a＞2时，方程g（x）＝0有两个不同的实根

x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.

当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x

（0，x1）

x1

（x1，x2）

x2

（x2，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

此时f（x）在上单调递增，

在上单调递减，

在上单调递增．

跟踪演练2　求下列函数的单调区间：

（1）f（x）＝（x－3）ex，x∈（0，＋∞）；

（2）f（x）＝x（x－a）2.

解　

（1）f′（x）＝（x－3）′ex＋（x－3）（ex）′＝（x－2）ex，

令f′（x）＞0，解得x＞2，又x∈（0，＋∞），

所以函数的单调增区间（2，＋∞），

函数的单调减区间（0,2），

（2）函数f（x）＝x（x－a）2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，

由f′（x）＝3x2－4ax＋a2＝0，

得x1＝，x2＝a.

①当a>0时，x1

∴函数f（x）的单调递增区间为，（a，＋∞），

单调递减区间为.

②当a<0时，x1>x2，

∴函数f（x）的单调递增区间为（－∞，a），，

单调递减区间为.

③当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，∴函数f（x）的单调区间为（－∞，＋∞），即f（x）在R上是递增的．

综上，a>0时，函数f（x）的单调递增区间为，（a，＋∞），单调递减区间为.

a<0时，函数f（x）的单调递增区间为（－∞，a），，单调递减区间为.

a＝0时，函数f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞）．

题型三　利用导数求函数的极值和最值

1．利用导数求函数极值的一般步骤

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）解方程f′（x）＝0的根；

（3）检验f′（x）＝0的根的两侧f′（x）的符号．

若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值；

若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值；

否则，此根不是f（x）的极值点．

2．求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将

（1）求得的极值与f（a）、f（b）相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．

特别地，①当f（x）在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f（x）在（a，b）内只有一个极值点时，若在这一点处f（x）有极大（或极小）值，则可以断定f（x）在该点处取得最大（最小）值，这里（a，b）也可以是（－∞，＋∞）．

例3　已知函数f（x）＝x2－alnx（a∈R）

（1）若f（x）在x＝2时取得极值，求a的值；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）求证：

当x>1时，x2＋lnx

（1）解　f′（x）＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′（x）＝x－＝，因为f（x）的定义域是（0，＋∞），所以当x∈（0,2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，＋∞），f′（x）＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.

（2）解　因为f′（x）＝x－＝，x∈（0，＋∞），

所以当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）．

当a＞0时，f′（x）＝x－＝＝，所以函数f（x）的单调递增区间（，＋∞）；递减区间为（0，）．

（3）证明　设g（x）＝x3－x2－lnx，则g′（x）＝2x2－x－，因为当x＞1时，g′（x）＝＞0，所以g（x）在x∈（1，＋∞）上为增函数，所以g（x）＞g

（1）＝＞0，所以当x＞1时，x2＋lnx＜x3.

跟踪演练3　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋b的图象上一点P（1,0），且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0

（3）在

（1）的结论下，关于x的方程f（x）＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．

解　

（1）因为f′（x）＝3x2＋2ax，曲线在P（1,0）处的切线斜率为：

f′

（1）＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过（1,0）点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f（x）＝x3－3x2＋2.

（2）由f（x）＝x3－3x2＋2得，f′（x）＝3x2－6x.

由f′（x）＝0得，x＝0或x＝2.

①当0

f（x）min＝f（t）＝t3－3t2＋2.

②当2

x

0

（0,2）

2

（2，t）

t

f′（x）

－

0

＋

f（x）

2

↘

－2

↗

t3－3t2＋2

f（x）min＝f

（2）＝－2，f（x）max为f（0）与f（t）中较大的一个．

又f（t）－f（0）＝t3－3t2＝t2（t－3）<0.

所以f（x）max＝f（0）＝2.

综上可知，在区间[0，t]（0

f（x）min＝

（3）令g（x）＝f（x）－c＝x3－3x2＋2－c，

g′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）．

在x∈[1,2）上，g′（x）<0；在x∈（2,3]上，g′（x）>0.

g（x）＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，

则

解得－2

题型四　导数与函数、不等式的综合应用

　利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．

例4　设函数f（x）＝－x3＋2ax2－3a2x＋b（0

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围；

（3）当a＝时，关于x的方程f（x）＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝－x2＋4ax－3a2

＝－（x－a）（x－3a）．

令f′（x）＝0，得x＝a或x＝