普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案上海卷.doc
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2009上海数学试卷（文史类）
1.函数f（x）=x3+1的反函数是f－1（x）=________
2.已知集合,,且,则实数a的取值范围是_______
3.若行列式中,元素4的代数余子式大于0,则x满足的条件是______
4.某算法的程序框如右图所示,则输出量y与输入量x满足的关系式是_______
5.若正四棱柱的底面边长为2,高为4,
则异面直线与AD所成角的大小是________
6.若球O1、O2表面积之比=4,则它们的半径之比=________
7.已知实数x、y满足,则目标函数z=x+2y的最小值是________
8.若等腰直角△的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_______
9.过点A（1,0）作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M、N两点,则|MN|=______
10.函数的最小值是________
11.某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者,
则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是_______（用最简分数表示）
12.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点,为椭圆上一点,且.
若的面积为9,则=________
13.已知函数.项数为27的等差数列满足,且公差.
若，则当=______时,.
14.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的
两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点,,,,为报刊零售点.
请确定一个格点（除零售点外）_______为发行站,使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
15.已知直线l1:
（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2:
2（k-3）x-2y+3=0平行,则k的值是（）
（A）1或3（B）1或5（C）3或5（D）1或2
x
y
z
O
4
3
4
16.如图,已知三棱锥的底面是直角△,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,
4
4
4
5
3
4
4
3
且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（）
（A）（B）（C）（D）
17.点P（4,-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）
（A）（x-2）2+（y+1）2=1（B）（x-2）2+（y+1）2=4（C）（x+4）2+（y-2）2=4（D）（x+2）2+（y-1）2=1
18.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为
“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,
一定符合该标志的是（）
（A）甲地:
总体均值为3,中位数为4（B）乙地:
总体均值为1,总体方差大于0
（C）丙地:
中位数为2,众数为3（D）丁地:
总体均值为2,总体方差为3
a≤1,x>,y=,arctan,2,-9,,2,1-,,3,14,（3,3）CBAD
19.（14'）已知复数z=a+bi（a、b∈R）（i是虚数单位）是方程x2-4x+5=0的根,复数w=u+3i（u∈R）满足|w-z|<2,
求u的取值范围
20.（6+8'）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量=（a,b）,=（sinB,sinA）,=（b-2,a-2）
⑴若∥,求证:
△ABC为等腰△
⑵若⊥,边长c=2,角C=,求△ABC的面积
21.（6+10'）有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度.
其中x表示某学科知识的学习次数（）,表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关
⑴证明:
当时,掌握程度的增加量总是下降
⑵根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,（127,133].
当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科
22.（4+4+8'）已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F（,0）,一条渐近线m:
x+y=0,
设过点的直线l的方向向量=（1,k）
⑴求双曲线C的方程
⑵若过原点的直线l1∥l,且l1与l的距离为,求k的值
⑶证明:
当>时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为
23.（5+5+8'）已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列
⑴若,是否存在,有说明理由
⑵若bn=aqn（a、q为常数,且aq≠0）,对任意m存在k,有bm·bm+1=bk,试求a、q满足的充要条件
⑶若an=2n+1,bn=3n试确定所有的p,使数列{bn}中存在某个连续p项的和是{an}中的一项,请证明
19.（-2,6）20.,21.123.0乙,22.-y2=1,±,23.不存在,a=qc（c∈Z,c≥-2）,p∈N*且为奇数均可
2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准
说明：
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答
中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的
评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变
这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后
面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
解答
一、（第1题至第14题）
1．2．3．4．
5．6．7．－98．
9．10．11．12．3
13．1414．（3，3）
二、（第15题至第18题）
15—18CBAD
三、（第19题至23题）
19．解：
原方程的根为
.
20．证明：
（1）
，
即，其中R是三角形ABC外接圆半径，
.
为等腰三角形.
[解]
（2）由题意可知
由余弦定得理可知，
即
21．[证明]
（1）当
而当单调递增，且
故单调递减。
，掌握程度的增长量总是下降。
解
（2）由题意知
整理得，
解得
由此可知，该学科是乙学科。
22．[解]
（1）设双曲线C的方程为，
解得=2，双曲线C的方程为
（2）直线
由题意，得
（3）[证法一]设过原点且平行于l的直线
则直线l与b的距离
又双曲线C的渐近为
双曲线C右支在直线D的右下方
∴双曲线右支上的任意点到的距离大于
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为
[证法二]假设双曲线C右支上存在点到直线的距离为
则
由
（1）得
设
当时，
将代入
（2）得
（*）
方程（*）不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为
23．[解]
（1）由，
得
整理后，可得
为整数，
，使等式成立
（2）[解法一]若
即（*）
（i）若，则
当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求
（ii）若，
（*）式等号左边取极限和，
（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于1
此时等号左边是常数，
矛盾。
综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求
[解法二]设
若，
对都成立，
且为等比数列，
则，
对都成立，
即
都成立，
7分
（i）若，则，
（ii）若，则
（常数）
即，
则，矛盾。
综上所述，有
使对一切
（3）
设
取
由二项展开式可得正整数M1、M2，使得
，
存在整数m满足要求。
故当且仅当时，命题成立18分
说明：
第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若为偶数，
则为偶数，
但为奇数。
故此等式不成立，
一定为奇数1分
当时，则
即
而
当为偶数时，存在，
使成立1分
当时，
则，即
也即
由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在成立
当时， 则，
即 也即，而不是5的倍数，
当时，
所要求的不存在。
故不是所有奇数都成立
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