高考数学热点题型和提分秘籍专题09函数模型及其应用文.docx

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高考数学热点题型和提分秘籍专题09函数模型及其应用文

专题09函数模型及其应用

1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

热点题型一一次函数或二次函数模型

例1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：

千米/小时）是车流密度x（单位：

辆/千米）的函数。

当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。

研究表明：

当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数。

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式。

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值。

（精确到1辆/小时）。

【提分秘籍】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略

（1）直接考查一次函数、二次函数模型。

解决此类问题应注意三点：

①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；

②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；

③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。

（2）以分段函数的形式考查。

解决此类问题应关注以下三点：

①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；

②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；

③分段函数的最值是各段的最大（或最小）者的最大者（最小者）。

提醒：

（1）构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域。

（2）对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解。

【举一反三】

某电信公司推出两种手机收费方式：

A种方式是月租20元，B种方式是月租0元。

一个月的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差（　　）

A．10元　　　B．20元

C．30元D.元

【答案】A

热点题型二函数y＝x＋模型的应用

例2、某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？

最大面积是多少？

【解析】设温室的左侧边长为xm，

则后侧边长为m。

∴蔬菜种植面积

y＝（x－4）＝808－2（4＜x＜400）。

∵x＋≥2＝80，

∴y≤808－2×80＝648。

当且仅当x＝，即x＝40时取等号，

此时＝20，y最大值＝648（m2）。

即当矩形温室的边长各为40m,20m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648m2。

【提分秘籍】应用函数y＝x＋模型的关键点

（1）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝叠加而成的。

（2）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋的形式。

（3）利用模型f（x）＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件。

【举一反三】

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：

万元）与隔热层厚度x（单位：

cm）满足关系C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（1）求k的值及f（x）的表达式。

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。

热点题型三指数函数与对数函数模型

例3．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：

服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。

（1）写出第一次服药后，y与t之间的函数关系式y＝f（t）；

（2）据进一步测定：

每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效。

求服药一次后治疗有效的时间是多长？

【解析】

（1）设y＝

当t＝1时，由y＝4得k＝4。

由1－a＝4得a＝3。

则y＝

（2）由y≥0.25得或解得≤t≤5。

因此，服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时。

【提分秘籍】应用指数函数模型应注意的问题

（1）指数函数模型的应用类型。

常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决。

（2）应用指数函数模型时的关键。

关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型。

（3）y＝a（1＋x）n通常利用指数运算与对数函数的性质求解。

【举一反三】

里氏震级M的计算公式为：

M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅。

假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍。

【答案】6　10000

【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上,其中集合，则方程的解的个数是▲.

【答案】8

【解析】由于，则需考虑的情况，

【2016高考北京文数】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）

A.−1B.3C.7D.8

【答案】C

【解析】由题意得，AB：

，

∴，当时等号成立，即的最大值为7，故选C.

【2016高考北京文数】函数的最大值为_________.

【答案】2

【解析】，即最大值为2.

【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）

（参考数据：

lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）

（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年

【答案】B

【2015高考上海，文21】（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：

千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.

（1）求与的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？

说明理由.

【答案】

（1），千米；

（2）超过了3千米.

【解析】

（1），设此时甲运动到点，则千米，

所以千米.

【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间（单位：

小时）与储藏温度（单位：

℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是（）

（A）16小时（B）20小时（C）24小时（D）21小时

【答案】C

【解析】由题意，得，于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝（e11k）3·eb＝×192＝24（小时）

（2014·北京卷）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：

分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a，b，c是常数），图12记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

图12

A．3.50分钟B．3.75分钟

C．4.00分钟D．4.25分钟

【答案】B　

（2014·陕西卷）如图12所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（　　）

图12

A．y＝x3－x2－x

B．y＝x3＋x2－3x

C．y＝x3－x

D．y＝x3＋x2－2x

【答案】A　

【解析】由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y＝f（x）＝ax3＋bx2＋cx，则f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，∴f′（0）＝－1，f′

（2）＝3，可得c＝－1，3a＋b＝1.又y＝ax3＋bx2＋cx过点（2，0），∴4a＋2b＝1，∴a＝，b＝－，c＝－1，∴y＝f（x）＝x3－x2－x.

1．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：

lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（　　）

A．15次　　　　　　　　　B．14次

C．9次D．8次

【答案】D

2．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停（每次上涨10%），又经历了n次跌停（每次下跌10%），则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（　　）

A．略有盈利B．略有亏损

C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况

【答案】B

【解析】设该股民购进股票的资金为a，则交易结束后，所剩资金为：

a（1＋10%）n·（1－10%）n＝a·（1－0.01）n＝a·0.09n

3．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为（　　）

A．10%B．12%

C．25%D．40%

【答案】C

【解析】利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1000×2%＝180（万元），纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120（万元），p%＝＝25%.

4．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一，交通法规规定：

驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车（　　）

A．1B．2

C．3D．4

【答案】B

5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（　　）

A．45.606万元B．45.6万元

C．45.56万元D．45.51万元

【答案】B

【解析】设在甲地销售x辆车，则在乙地销售（15－x）辆车，获得的利润为y＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30，当x＝－＝10.2时，y最大，但x∈N*，所以当x＝10时，ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6，故选B.

6．某购物网站在2015年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最多需要下的订单张数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

【答案】C

【解析】