导数常用的一些技巧和结论Word下载.docx
《导数常用的一些技巧和结论Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《导数常用的一些技巧和结论Word下载.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
x5j寸论函数x0,/(x)=e-ax.的零点的个数;
6.*丄时,讨论函数f(x)=nx-ax的零点的个数;
e12(x-l)111.关系式为杯加”型/(x)+/(x)0构造k/(x)feJ|/(x)+/(x)xf(xf(x)Q构造寸(列=幼&
)+/(兀)xf(x)+nf(x)OPJiSx,:
/(x)|=x/(.Y)+?
/(x)=(x)j2f(x)j(注意对x的符号imi论
(1)/(xII-fx)0构造
(2)xf(x)-/(x)0构造罟卜/)2关系武为嘟型xf(xnf(x)Q构造J_Ff(Q-nxV(x)_寸一寸(x)厂(町(注意对X的符号逍行讨论lxln(2:
+1)Wx(x1)2、b$+gR)3k1113:
Ina:
啦弓啦弓(OGS)5、11尹-,)(21)6xlnrr2(a;
-丄)(01)7、疋2ln(l+x)x(x20)2(2017年全国新课标1理21)已知fxae2xa2exx.
(1)讨论fx的单调性;
(2)若fx有两个零点,求a的取值范围解析:
(1)fx2ae2xa2ex12ex1aex10恒成立,所以fx在R上递减;
0,得1-,xaIn1.a1,In上递减;
aIn时,a所以罷,a上递增综上,当a0时,fx在R上递减;
当a0时,In丄a、1上递减,在In,a上递增
(2)fx有两个零点,必须满足Xmin0,即0,且fXminInaIn10.a构造函数gInx,x0.易得g0,所以gInx单调递减.又因为g10,所以In-aF面只要证明当01时,有两个零点即可,为此我们先证明当0时,事实上,构造函数Inx,易得hx11,:
inh1,所以hx0,即xInx.当0a1时,f2caeae220,efInaIn其中1InInda1,lnIn-,Ina上各有一个零点故a的取值范围是0,1注意:
取点过程用到了常用放缩技巧。
2x方面:
ae2xaexaexIn-1;
a另一方面:
x0时,2xaex1(目测的)第一组:
对数放缩(放缩成一次函数)Inx(放缩成双撇函数)Inx常用的放缩公式常用的放缩公式(考试时需给出证明过程)(考试时需给出证明过程)1,InIn,Inx_1InxxxVxInx(放缩成二次函数)Inxx,InIn(放缩成类反比例函数)InxInxIn1x,In2x1xIn1x2x1x第二组:
指数放缩(放缩成一次函数)xxxex1,ex,eex,(放缩成类反比例函数)(放缩成二次函数)xe1x-x2x0,ex1x!
x213x,226第三组:
指对放缩exlnxx1x12第四组:
三角函数放缩sinxxtanxx0,sinxx!
x2,112xcosx1-sin2x222第五组:
以直线yx1为切线的函数几个经典函数模型几个经典函数模型经典模型一:
lnx亠xy或yxlnx【例1】讨论函数fxlnxax的零点个数
(1)a时,无零点xmaxe
(2)a(3)当11时,1个零点.e1时,2个零点.e0(目测)xmaxfelne10.In0,其中1ae.(放缩)ea0.其中e.(用到了Inx(4)当【变式】1.讨论2.讨论3.讨论4.讨论5.讨论6.讨论0时,1个零点.单调递增(经过换元和等价变形之后均可以转化到例aaeInxax):
0.Inxm.x的零点个数(令、.xa);
xminx的零点个数(令丄a);
mxInxmx的零点个数(考虑gxInx=mx的零点个数(Inxmx2的零点个数(axex的零点个数(令fxx);
考虑gx.xfx,令t2令tx,2ma);
ext).a);
经典模型二:
y巳或x【例2】讨论函数fxax的零点个数.
(1)0时,1个零点exax单调递增
(2)(3)(4)0时,无零点.ae时,无零点e时,2个零点.fXmin【变式】
(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题1.讨论fx2xemx的零点个数(令2xt,2.讨论fxmm的零点个数(去分母后与e3.讨论fx4.讨论fxIna0,所以在0恒成立;
Ina0,f2ln1-,0上有一个零点;
aa2Inaae202:
fxexax):
1等价);
m.x的零点个数(移项平方后与1等价);
mx2的零点个数(移项开方后换元与1等价);
5.讨论fxexmx的零点个数(乘以系数e,令ema);
6.讨论fx-lnxmx的零点个数(令xet,转化成2)x7.讨论fxex1mxm的零点个数(令x1t,马a);
e经典模型三:
xlnx或yxxe
(1)讨论函数fxInx-的零点个数x0时,1个零点.xa2_xaInx单调递增.x
(2)0时,1个零点(x01).(3)1时,无零点eInXmin(4)a1时,1个零点.e1(5)a0时,2个零点.efa2121Ina1a1a0,111ea0,f1a0,aaae111x0.fXminfln10eee【变式】
(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3:
fxInx-):
x11.讨论fxaInx的零点个数;
xax3.讨论fxx的零点个数(令et);
exa4.讨论fxe的零点个数;
x1UA収时Ina找点问题中的常见函数模型之间的关系11Vv-xeV=y/xnxv三jdnx厂31.1呑rJt同理,町以转化成的儿他任怠次鼻,剌下的四个函数亦然t1练习题练习题x21.已知函数fxx2eax1有两个零点,求a的取值范围3.已知函数fxx1exax2有两个零点,求a的取值范围4.已知函数x的零点的个数xexmx2mx1.当m0时,试讨论y2