高中数学必修二北师大版赣豫陕新学案讲义第一章立体几何初步72Word版含答案Word格式.docx

高中数学必修二北师大版赣豫陕新学案讲义第一章立体几何初步72Word版含答案Word格式.docx

《高中数学必修二北师大版赣豫陕新学案讲义第一章立体几何初步72Word版含答案Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修二北师大版赣豫陕新学案讲义第一章立体几何初步72Word版含答案Word格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

知识点二　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

V＝ShV＝（S′＋＋S）hV＝Sh.

1．锥体的体积等于底面面积与高之积．（　×

　）

2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．（　√　）

类型一　多面体的体积

例1　如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②，求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

考点　

题点　

解　由主视图可知，在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在等边三角形ABC中，BC＝＝＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×

BC×

AD×

AA1＝×

2×

×

3＝3.

反思与感悟　求几何体体积的四种常用方法

（1）公式法：

规则几何体直接代入公式求解．

（2）等积法：

如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

（3）补体法：

将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．

（4）分割法：

将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

跟踪训练1　一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

截去三棱锥A1－AB1D1.

设正方体的棱长为a，

则＝×

a3＝a3，

故剩余几何体的体积为a3－a3＝a3，

所以比值为，故选D.

类型二　旋转体的体积

例2　

（1）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为________m3.

答案　

解析　由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1m，圆锥的高为1m，圆柱的高为2m，因此该几何体的体积V＝2×

π×

12×

1＋π×

2＝（m3）．

（2）体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为（　　）

A．54cm3B．54πcm3C．58cm3D．58πcm3

答案　A

解析　由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27.

截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26，

∴小圆锥的体积为2cm3，

故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.

反思与感悟　要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．

（1）求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．

（2）“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．

跟踪训练2　设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°

，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．

答案　21π

解析　设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.

作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°

，

又∠BA1A＝90°

∴∠BA1D＝60°

∴AD＝＝，

∴R－r＝.

BD＝A1D·

tan60°

＝3，

∴R＋r＝3.∴R＝2，r＝，而h＝3.

∴V圆台＝πh（R2＋Rr＋r2）＝π×

3×

[

（2）2＋2×

＋（）2]＝21π.

∴圆台的体积为21π.

类型三　几何体体积的求法

命题角度1　等体积法

例3　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．

考点　柱体、锥体、台体的体积

题点　锥体的体积

解　

又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，

反思与感悟　

（1）三棱锥的每一个面都可当作底面来处理．

（2）利用等体积法可求点到面的距离．

跟踪训练3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d.

解　在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝.

∵×

1＝×

d，

∴d＝.

命题角度2　割补法

例4　如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．

解　如图，连接EB，EC，AC.四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×

42×

3＝16.

因为AB＝2EF，EF∥AB，

所以S△EAB＝2S△BEF.

所以VF－EBC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC

＝×

VE－ABCD＝4.

所以该多面体的体积V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.

反思与感悟　通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．

跟踪训练4　如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．

解　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×

22×

5＝20π，故所求几何体的体积为10π.

1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1—ABC的体积为（　　）

A.B.

C.D.

解析　V＝Sh＝×

3＝.

2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（　　）

A.B.C．64πD．128π

答案　B

解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

由题意知2r＝，即l＝r，

∴S侧＝πrl＝πr2＝16π，

解得r＝4.

∴l＝4，圆锥的高h＝＝4，

∴圆锥的体积为V＝Sh＝π×

4＝.

3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是（　　）

A．18＋6B．6＋2

C．24D．18

解析　V＝（2＋4＋）×

3＝6＋2.

4．某几何体的三视图如图所示，其体积为________．

解析　由三视图可知该几何体是半个圆锥，

则该几何体的体积为×

2＝.

5．如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.

答案　0.6

解析　将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积．

设水面下降的高度为xcm，则π×

2x＝π×

20，

得x＝0.6cm.

1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为

V柱体＝ShV台体＝h（S＋＋S′）V锥体＝Sh.

2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．

3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．

一、选择题

1.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是（　　）

答案　C

解析　∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′，

∴VC－AA′B′B＝VABC－A′B′C′＝.

2．已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：

cm），可得几何体的体积是（　　）

A．4cm3B．6cm3C．8cm3D．12cm3

3．已知圆锥的母线长为8，底面圆的周长为6π，则它的体积是（　　）

A．9πB．9

C．3πD．3

解析　设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，则2πr＝6π，∴r＝3.

∴h＝＝，

∴V＝π·

r2·

h＝3π.

4.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A.πB.πC.πD．2π

考点　组合几何体的表面积与体积

题点　柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积

解析　由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥（如图），

该几何体的体积为π×

2－×

1＝π.

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

解析　由三视图可知，该几何体是由正三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体．

正三棱柱的底面边长为2，高为2，体积V1＝Sh＝×

2＝2.

截去的三棱锥的高为1，体积V2＝×

1＝.

故所求体积为V＝V1－V2＝，故选C.

6．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为（　　）

A．1B.C．3D.

解析　在正△ABC中，D为BC中点，

则有AD＝AB＝，S△DB1C1＝×

＝.

又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C，

即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．

7．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为（　　）

A．2B．2C.D.

解析　如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.

8．某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的体积是（　　）

A．8cm3B．12cm3

C.cm3D.cm3

解析　由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2cm的正方体，体积V1＝2×

2＝8（cm3）；

上面是底面边长为2cm，高为2cm的正四棱锥，体积V2＝×

2＝（cm3），所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝（cm3）．

二、填空题

9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．

解析　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.

由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2