北京市平谷区高三一模数学试题Word格式文档下载.docx
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二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.已知集合,且则的取值范围是
12.经过点且与圆相切的直线的方程是
13.已知函数则
14.某网店统计连续三天出售商品的种类情况:
第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;
前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种;
这三天售出的商品至少有种.
15.在中,是边的中点.若,则的长等于;
若,则的面积等于.
三、解答题共6小题,共85分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.(本小题14分)
如图,四棱锥的底面是正方形,是的中点,平面,是棱上的一点,平面.
(Ⅰ)求证:
是的中点;
(Ⅱ)求证:
和所成角等于
17.(本小题14分)
已知数列是等差数列,是的前项和,,.
(Ⅰ)判断是否是数列中的项,并说明理由;
(Ⅱ)求的最值.
从①,②,③中任选一个,补充在上面的问题中并作答.
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
18.(本小题14分)
三个班共有名学生,为调查他们的上网情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长,数据如下表(单位:
小时):
班
(Ⅰ)试估计班的学生人数;
(Ⅱ)从这120名学生中任选1名学生,估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率;
(Ⅲ)从A班抽出的6名学生中随机选取2人,从B班抽出的7名学生中随机选取1人,求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.
19.(本小题14分)
已知函数其中
(Ⅰ)当时,求曲线在原点处的切线方程;
(Ⅱ)若函数在上存在最大值和最小值,求a的取值范围.
20.(本小题15分)
已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点,过原点的直线与交于两点(点在第一象限),且与线段交于点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若,求直线的方程;
(Ⅲ)若的面积是的面积的倍,求直线的方程.
21.(本小题14分)
在数列中,若且则称为“数列”。
设为“数列”,记的前项和为
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若,求的值;
(Ⅲ)证明:
中总有一项为或.
参考答案
一、选择题:
(每小题4分,共10小题,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.C2.D.3.D4.C5.B
6.B7.A8.C9.B10.A
二、填空题:
(每小题5分,共5小题,共25分)
11.;
12.;
13.;
14.;
15..
10.考察知识:
双曲线的定义和性质(对称性、渐近线、离心率),平行四边形的定义和性质(相邻内角互补),三角形的性质(余弦定理、面积公式).
15.在中,,在中,,
相除得:
,
所以,
所以.
三、解答题:
(共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.)
16.(Ⅰ)联结,设与交于,联结,…………1分
因为平面,
平面平面=,
所以…………4分
因为是正方形,
所以是的中点
所以是的中点…………6分
(Ⅱ)(法一)因为平面,
所以…………7分
所以
因为
所以平面…………10分
所以平面…………13分
因为平面
所以与成角.…………14分
(法二)连接,
所以,.………7分
所以.
所以两两垂直.
以分别为、、建立空间直角坐标系.………8分
则,,,,………9分
,,………10分
(………1分)
………13分
所以所以与成角.………14分
17.解:
选(Ⅰ)因为,
所以…………2分
所以
…………6分
令,则
此方程无正整数解
所以不是数列中的项.…………8分
不能只看结果;
某一步骤出错,即使后面步骤都对,给分不能超过全部分数的一半;
只有结果,正确给1分.
(Ⅱ)(法一)令,即,解得:
当时,当时,…………11分
当时,的最小值为.…13分
无最大值…………14分
只给出最小值-26,未说明n=4扣1分.
无最大值…1分
(Ⅱ)(法二),
…………11分
选(Ⅰ),
…………2分
…………4分
解得
是数列中的第512项.…………8分
(Ⅱ)令,即,解得:
当时,
当或时,的最小值为
.…………13分
令,则(舍去)
不是数列中的项.…………8分
当或时,的最大值为
无最小值.…………14分
18.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由题意知,抽出的20名学生中,来自班的学生有名.根据分层抽样
方法,班的学生人数估计为.…………3分
只有结果36扣1分
(Ⅱ)设从选出的20名学生中任选1人,共有20种选法,…………4分
设此人一周上网时长超过15小时为事件D,
其中D包含的选法有3+2+4=9种,…………6分
.…………7分
由此估计从120名学生中任选1名,该生一周上网时长超过15小时的
概率为.……………8分
只有结果而无必要的文字说明和运算步骤,扣2分.
(Ⅲ)设从班抽出的6名学生中随机选取2人,其中恰有人一周上网超过15小时为事件,从班抽出的7名学生中随机选取1人,此人一周上网超过15小时为事件
则所求事件的概率为:
.……………14分
(Ⅲ)另解:
从A班的6人中随机选2人,有种选法,从B班的7人中随机选1人,有种选法,
故选法总数为:
种……………10分
设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为,
则中包含以下情况:
(1)从A班选出的2人超15小时,而B班选出的1人不超15小时,
(2)从A班选出的2人中恰有1人超15小时,而B班选出的1人
超15小时,……………11分
所以.……………14分
只有,而无文字说明,扣1分
有设或答,有,给3分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
.
切线的斜率;
曲线在原点处的切线方程为:
.……………5分
(Ⅱ)
……………7分
(1)当
则
……………9分
(0,)
()
递增
递减
法1:
……………10分
在恒成立,
.
……………13分
所以的取值范围为.……………14分
法2:
;
当时,,,
即时,;
时,
用趋近说:
,论述不严谨,扣1分.
(2)当.
-
+
综上:
的取值范围是.
当时,,,
(论述不严谨,扣1分)
20.(本小题满分15分)
(Ⅰ)法一:
依题意可得解得(试根法)
所以椭圆的标准方程为.…3分
法二:
设椭圆的右焦点为,则,
,,
(Ⅱ)因为点在第一象限,所以直线的斜率存在,…4分
设直线的斜率为,则直线的方程为,设直线与该椭圆的交点
为由可得,…5分
易知,且,…6分
则…7分
,
所以(负舍),所以直线的方程为.…8分
用到原点距离公式(未用弦长公式)按照相应步骤给分,
设点,
又解得:
所以直线的方程为,即.
(Ⅲ)设,,则,易知,.
由,,所以直线的方程为.…9分
若使的面积是的面积的4倍,只需使得,…10分
法一:
即.…11分
设直线的方程为,由得,…12分
由得,,…13分
代入可得,即:
(约分后求解)
解得,所以.…15分
所以,即.…11分
所以,因为点在椭圆上,所以,…13分
解得,
所以.…15分
法三:
所以,即.…11分
点在线段上,所以,整理得,…12分
因为点在椭圆上,所以,
把式代入式可得,解得.…13分
于是,所以,.
所以,所求直线的方程为.…15分
21.解:
(Ⅰ)当时,中的各项依次为,
所以.…………………………3分
(Ⅱ)若是奇数,则是偶数,,
由,得,解得,适合题意.
若是偶数,不妨设,则.
若是偶数,则,由,得,此方程无整数解;
若是奇数,则,由,得,此方程无整数解.
综上,.…………………………8分
(Ⅲ)首先证明:
一定存在某个,使得成立.
否则,对每一个,都有,则在为奇数时,必有;
在为偶数时,有,或.
因此,若对每一个,都有,则单调递减,
注意到,显然这一过程不可能无限进行下去,
所以必定存在某个,使得成立.
经检验,当,或,或时,中出现;
当时,中出现,
综上,中总有一项为或.…………………………14分