华东师大版数学九年级上册第23章 单元综合复习《图形的相似》专题专练Word文档格式.docx

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A、1∶3B、2∶3C、3∶1D、3∶2

3、已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）

A、

=

B、

C、

D、

4、若3x－4y=0，则

的值是（）

5、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么

d=cm．

6、已知三个数1，2，

，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________（填写一个即可）.

7、同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例，某班同学要测量学校国旗的旗杆高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是8米，而同一时刻，量得某一身高为1.5米的同学的影长为1米，求旗杆的高度是多少？

8、已知

，求

（1）

（2）

的值．

专题二∶相似图形

1．了解相似图形的含义，会判断两多边形是否为相似多边形

2．相似多边形∶对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形的对应边的比叫相似比．

二、典例剖析

例3．我们已经学过了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形，比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．

现在给出下列4对几何图形∶①两个圆；

②两个菱形；

③两个长方形；

④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．

解:

①④一定是相似图形，原因是它们的对应元素成比例．

②③不一定是相似图形，原因是②的对应角不一定相等，③的对应边不一定成比例，例如:

长方形ABCD的长AB=5cm，宽BC=2cm，长方形A

B

C

D

的长A

=10cm，宽B

=6cm，长方形ABCD与长方形A

的边不成比例，两者不相似．

专练三∶

1、下列图形中一定相似的是（）

A.有一个角相等的两个平行四边形；

B.有一个角相等的两个等腰梯形

C.有一个角相等的两个菱形；

D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形

2、下列结论不正确的是（）

A.所有的矩形都相似；

B.所有的正方形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似；

D.所有的正八边形都相似

3、五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是（）

A.5∶4B.4∶5C.5∶2D.2∶5

4、如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）

A.2∶1B.4∶1C.

∶1D.1∶

5、两个相似多边形的相似比是

，则这两个多边形的对应对角线的比是___.

6、在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°

，若AB∶A′B′=1∶

，则BD∶A′C′=________.

7、下列各组图形中相似的是（）

图4

A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④

8、

（1）以下五个命题∶①所有的正方形都相似②所有的矩形都相似③所有的三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有___.

9、如图，图5

（1）是一个正六边形ABCDEF，使线段BC、FE的长增加相等的数，得图5

（2），将图5

（1）中的点A、D分别向两边拉长相等的量，得图5（3），那么图4

（1）与图5

（2）相似吗？

图5

（1）与图5（3）相似吗？

图5

（2）与图5（3）呢？

为什么？

图5

10、如图6，如果梯形ABCD的各边向外平移2个单位得到新的梯形A`B`C`D`，

图6

试问图中的两个梯形能相似吗？

请说明理由．

11、如图7，在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD相似？

图7

12、如图8，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么∶①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？

②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？

它们有什么关系吗？

图8

专题三∶相似三角形

1．通过一些具体的情境和应用，深入对相似三角形的理解和认识，初步认识特殊与一般之间的辨证关系

2．掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题

3．相似三角形的性质

对于两个相似三角形来说，它们具有如下常用性质∶

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

②相似三角形周长比等于相似比．

③相似三角形的面积比等于相似比的平方．

4．相似三角形的判定方法∶

两边对应成比例，

夹角对应相等

两角对应相等

三条边对应成比例

一条直角边、

斜边对应成比例

判定一

判定二

判定三

直角三角形的判定

例4．如图9，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，当CM=时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似

E

解析∶由于△AED和△MCN都是直角三角形，△AED的三边，

AD=2，AE=1，斜边DE=

；

△MCN的斜边MN=1，而

当两个直角三角形斜边与直角边对应成比例时，这两个直角三角形相似，

图9

根据

或

，即

，

得

，故当

时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．

点评∶分类讨论题虽然也具有开放性，但它比以上开放题要求高，分类讨论必须考虑全面、周密，做到不重不漏，本题必须分两种情况所得的值都填上才正确．

专练四∶

1、在△ABC中AB＝12cm，AC＝8cm，点D，E分别在AB，AC上，如果△ADE于△ABC能够相似，且AD＝4cm时，试求AE的长．

2、ABC∽△DEF若△ABC的边长分别为5cm，6cm，7cm，而4cm时△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？

试说明理由．

3、如图10，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12cm，高AD=8cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？

图10

4、某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.

专题四∶图形的位似

1．了解位似图形及其有关概念，了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；

能利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小

图11

2．掌握位似图形的性质

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

例5．在小孔成像问题中，根据如图11所示，若O到

AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，，则像CD

的长是物AB长的（）．

（A）3倍（B）

倍（C）

倍（D）不知AB的长度，无法判断．

分析∶由图形知，△OAB和△OCD是位似图形，由位似图形的性质知AB和CD位似比是

，所以像CD是物AB长的

倍．

解∶选（C）．

点评∶小孔成像是光的直线传播现象中的应该典型现象，现在我们用一个蜡烛通过小孔成像的原理在暗箱里成一个倒立的像，如图11所示．小孔O是位似中心，两条光线AC和BD形成了两个相似三角形△OAB和△OCD．总之，在生活活中这样的例子还有很多，如利用光的反射原理、制作视力表等问题，都要用到位似图形的有关性质来解决．

专练五∶

图12

1、如图12，点O是等边三角形PQR的中心，P1、Q1、R1分别是OP、OQ、OR的中点，则

是位似三角形，此时

的位似比、位似中心分别是（）

2、课本上有这样一题∶已知，如图13

（1），O点在△ABC内部，连AO、BO、CO，A’、B’、C’分别在AO、BO、CO上，且AB∥A’B’、BC∥B’C’．

求证∶△OAC∽△OA’C’．若将这题图中的O点移至△ABC外，如图

（2），其它条件不变，题中要求证的结论成立吗？

（1）在图

（2）基础上画出相应的图形，观察并回答∶（填成立或不成立）．

（2）证明你

（1）中观察到的结论．

图13

3、如图14，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

图14

（1）画出位似中心点0；

（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；

（3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，

使它与△ABC的位似比等于1.5．

4、如图15，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，-1）、（2，1）．

（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍

图15

（即新图与原图的相似比为2），画出图形；

（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；

（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），

写出M的对应点M′的坐标．

专题五∶相似三角形的应用

相似图形是一种图形的变换，在历年中考中都占有一定比例，在近几年中考试题中，有关相似图形的考查范围更加广泛，既注重基础知识的考查，又注重应用能力和抄写能力的考查

图16

例6．阅读下面的短文，并回答下列问题∶我们把相似形的概念推广到空间∶如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图16，甲、乙两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比，设

分别表示这两个正方体的表面积，则

，又设

分别表示这两个正方体的体积，则

．

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）．

（A）两个球体；

（B）两个圆锥体；

（C）两个圆柱体；

（D）两个长方体

（2）请归纳出相似体的三条主要性质∶①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于②相似体表面积的比等于；

③相似体体积的比等于．

（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？

（不考虑不同时期人体平均密度的变化）．

分析∶这里要用到“立体相似”的知识，两个相似的立体还没有学过，