人教版七年级数学上册第三章 一元一次方程知识点期末复习与巩固无答案Word文档格式.docx

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，那么

；

（c为一个数或一个式子）。

　　等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍。

2、分数的基本的性质:

　　分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的不变。

（其中m≠0）

注：

分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，

　　如方程：

，将其化为的形式：

。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

知识点三：

解一元一次方程的一般步骤：

1、解一元一次方程的基本思路：

　　通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。

2、解一元一次方程的一般步骤是：

变形名称

具体做法

变形依据

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

等式基本性质2

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

去括号法则、分配律　

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

等式基本性质1

合并同类项

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式

合并同类项法则

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程

的解x＝

注意：

（1）解方程时应注意：

　　　①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式

　　　　灵活安排求解步骤。

熟练后，步骤及检验还可以合并简化。

　　　②去分母时，不要漏乘没有分母的项。

去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。

　　　③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。

（2）在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：

　　　①移项时忘记改变符号；

　　　②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；

　　　③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；

3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

（1）a≠0时，方程有唯一解x＝；

（2）a=0，b=0时，方程有无数个解；

　　（3）a=0，b≠0时，方程无解。

知识点四：

列一元一次方程解应用题的一般步骤:

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1），分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2），一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

　　（3），把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

　　（4）．

　　（5），看方程的解是否符合题意．

　　（6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：

设→根据题意→解这个方程→答。

　　注意：

（1）在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的

　　　未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。

（2）解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。

　　（3）列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。

　　（4）一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。

重复利用同一个条

　　　件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。

知识点五：

常见的一些等量关系

　　常见列方程解应用题的几种类型：

类型

基本数量关系

等量关系

（1）和、差、倍、分问题

①较大量＝较小量＋多余量

②总量＝倍数×

倍量

抓住关键性词语

（2）等积变形问题

变形前后体积相等

（3）行程问题

相遇问题

路程＝速度×

时间

甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离

追及问题

同地不同时出发：

前者走的路程＝追者走的路程

同时不同地出发：

前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

顺逆流问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

顺流的距离＝逆流的距离

（4）劳力调配问题

从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语

（5）工程问题

工作总量＝工作效率×

工作时间

各部分工作量之和＝1

（6）利润率问题

商品利润＝商品售价－商品进价

商品利润率＝

×

100％

售价＝进价×

（1＋利润率）

抓住价格升降对利润率的影响来考虑

（7）数字问题

设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b

抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系

（8）储蓄问题

利息＝本金×

利率×

期数

本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×

期数×

（1－利息税率）

（9）按比例分配问题

甲∶乙∶丙＝a∶b∶c

全部数量＝各种成分的数量之和（设一份为x）

（10）日历中的问题

日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；

日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7

日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数

2、

经典例题透析

类型一：

一元一次方程的有关概念

1、已知下列各式：

　　①2x－5＝1；

②8－7＝1；

③x＋y；

④x－y＝x2；

⑤3x＋y＝6；

⑥5x＋3y＋4z＝0；

⑦＝8；

　　⑧x＝0。

其中方程的个数是（　）

　　A、5　　　　　B、6　　　　　C、7　　　　　D、8

　　　　[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：

（1）-2x2+3=x

（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x2-1=1-2（2x-x2）

　　　　[变式2]已知：

（a-3）（2a+5）x+（a-3）y+6＝0是一元一次方程，求a的值。

类型二：

一元一次方程的解法

　　解一元一次方程的一般步骤是：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。

1、巧凑整数解方程

1、解方程：

　　[变式]解方程：

＝2x－5

2、巧用观察法解方程

2、解方程：

3、巧去括号解方程

　　含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。

3、解方程：

　[变式]解方程：

4、运用拆项法解方程

　　在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。

4、解方程：

5、巧去分母解方程

　　当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。

为了避免这样的运算。

应把分母化成整数。

化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。

5、解方程：

＝1

6、巧组合解方程

6、解方程：

7、巧解含有绝对值的方程

　　解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。

对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m。

7、解方程：

|x－2|－3＝0

[变式1]5|x|-16＝3|x|-4

[变式2]

　　小结：

解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要能随机应变（灵活打乱步骤）解方程。

对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。

　　解一元一次方程常用的技巧有：

（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。

（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。

　　（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。

　　（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。

　　　解方程时，认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，可达到事半功倍的效果。

类型三、一元一次方程的综合应用题

1．优化方案问题

1、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。

请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？

普通

（元/间）

豪华

双人房

140

300

三人房

150

400

2．行程中的追及相遇问题

2、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？

　　举一反三：

　　[变式]甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的。

摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？

3．日历中的方程

3、

（1）在2006年8月的日历中（如图

（1）），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是＿＿＿。

（2）现将连续自然数1至2006按图中（如图

（2））的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。

　　①图中框出的这16个数的和是____________。

　　②在图

（2）中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？

若不可能，试说明理由；

若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。

　　总结升华：

（1）日历中的数量关系

　　　①在日历中，每一横排相邻两个数字之间差1。

　　　②在日历中，每一竖排相邻两个数字之间差7。

　　　③在日历中，左上到右下方向相邻两个数字之间差8。

　　　④在日历中，右上到左下方向相邻两个数字之间差6。

（2）用一个正方形任意圈出9个数的规律

　　　①中间一个数字是所有九个数字的平均值。

　　　②每一横排、每一竖排、每一斜排，中间一个数字都是它们的平均值。

　　[变式1]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相