在实际应用中柯西积分公式的用途正文文档格式.docx

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已经证明了的理论给出的例题还不够．考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义．

通过阅读大量的专著，期刊还有网上的资料，本文将对实变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；

还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；

然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；

在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！

为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去．

2预备知识

2.1柯西积分定理

设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则．

2.2推广的柯西积分定理

设是一条周线，为之内部，函数在闭域上解析，则

．

2.3复周线柯西积分定理

设是有复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则．

2.4柯西积分公式

设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，则有（）．

3柯西积分公式的推论

3.1解析函数平均值定理

如果函数在内解析，在闭圆上连续，则

，

即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数．

证：

设表示圆周，则，

即，

由此，

根据柯西积分公式

3.2高阶导数公式

设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，则函数在区域内有各阶导数，并且有

这是一个用解析函数的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式．

现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证明．

引理设是一条可求长的曲线，是上的连续函数，对于每个自然数及复平面上的每个点，定义函数

那么每个在区域上解析，且

证明：

首先证明是区域上的连续函数，即要证明，对于内的任意点，不论多么小，总存在，只要（在内的点），就有．

因为

（1）

所以

（2）

因为在上连续，所以存在某个常数，使得对于上一切点，．设与的距离为．那么对于任意及，有．于是有

（2）得

其中为曲线的长．

令．

取．

那么，当，就有．

其次证明在区域上解析，且满足，在内任取一点，设，由

（1）得

因为，所以对于满足不等式的每个，在上连续．根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在上定义了一个变量的连续函数，因此，当时的极限存在，即

．

对于内的一切均成立．

下面使用这个引理证明高阶导数公式:

由柯西积分公式，对于内的任意点，有

，．

记根据引理，

即．

3.3柯西不等式

设函数在区域内解析，为内一点，以为心作圆周，只要及其内部均含于，则有

证：

由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式．应用上面得到的定理，则有

注：

柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关．

3.4刘维尔定理

有界整函数必为常数

设的上界为，则在柯西不等式中，对无论什么样的，均有．于是命时有

上式对一切均成立，让，即知，而是平面上任一点，故在平面上的导数为零，所以，必为常数

3.5摩勒拉定理

若函数在单连通区域内连续，且对内任一周线，有

则在内解析．

在假设条件下，即知

在内解析，且．但解析函数的导函数还是解析的．即是说在内解析．

4奇点在积分路径上的柯西积分公式

我们一般讨论的复积分，要就被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能直接用柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果．下面结合Holder条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式．

定义1设是复平面内的简单逐段光滑曲线，，函数在上连续，在附近无界，在上的两边各取一点，若

存在，则称此极限值是沿的奇异积分，记为

定义2设是复平面内的简单逐段光滑曲线，，函数在上连续，在附近无界，以为心、充分小的正数为半径做圆周，使它与的交点恰为，若极限存在，则称此极限值是沿的柯西主值积分，记为

定理1设施光滑曲线，取正向，若满足Holder条件，即

（其中都是实常数，是上任意两点）则称柯西主值积分存在，且有

又

（其中为上任意连续分支，），为当从沿变动到时的幅角改变量，当即时，它的极限值为．

又因为满足Holder条件，即

而，则积分

存在．

于是，得

定理2若是简单逐段光滑曲线，是以为边界的有界单连通区域，在内解析，在上连续，在的邻域有

为常数

则

以为心，充分小的为半径作圆，在上取下一小段弧，在内得到圆弧，取正向，有柯西积分定理

设的参数方程为

故

定理3设区域的边界是周线（或复周线），在内解析，在上连续，且在上满足Holder条件，则有

此式称为在边界上的柯西积分公式．

满足Holder条件，则有

那么由定理1知：

而

于是由定理3得

故有

另外，当是复平面内的简单逐段光滑曲线，，函数在上连续，在附近无界，以为心、充分小的正数为半径做圆周，使它与的交点恰为，若极限不一定存在．因此，此时的柯西积分主值不能确定，故此时在边界上的柯西积分公式也不能确定．

5.3柯西积分公式的方法与技巧

柯西积分公式是复积分基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式，是求沿闭曲线的积分更加简洁．而尤其重要的是，高阶导数公式告诉我们：

只要函数在内处处可导（解析），则它的各阶导数在区域内存在．

到此为止，我们已经掌握了关于复积分计算的基本定理和公式．因此，计算复积分不再是应用某一定理或某一公式，而往往是同时应用几个定理或几个公式，这就要求我们加强对综合问题的分析、研究和求解能力的培养．

当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数式，如果在封闭曲线内含有分母的一个零点而分子在内处处解析（即对，或，在内，而在内处处解析），则可直接应用柯西积分公式或高阶导数公式来计算积分．而在有理函数情形，若内含有分母一个以上零点而分子解析，则要先将被积函数化为部分分式，然后依据具体问题是用恰当的方法去求积．

6举例应用

例1计算积分．

解：

化为，即．内有奇点，作以和为心的位于内的互不相交且互不包含的小圆周和，依复闭合定理与柯西积分公式，有

例2计算积分

（1），

（2）

分析：

（1）和

（2）的主要区别在于积分路径上是否存在奇点，

（1）的结果很好求，符合积分定理的条件，可直接使用柯西积分定理．

（2）应为奇点在积分路径上，所以就不能直接用柯西积分定理来求，但满足定理3条件，可利用定理3求值．

解

（1）直接用柯西积分定理得

（2）因为

又有柯西积分公式有

由定理3有

所以

例3计算积分

此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化为复数，利用定理3求解就简单多了．

（其中经过定积分的计算可以得到积分）

设，满足Holder条件，且的奇点在积分路径上，由定理3得

（其中是连接和的一段弧，则是闭曲线）

由约当引理知

所以

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