沪教版相似三角形专题复习优秀教案.docx

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沪教版相似三角形专题复习优秀教案

相似三角形综合复习

一、基础知识

（一）.比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段；

2.比例性质：

（1）基本性质：

（2）合比定理：

（3）等比定理：

3.黄金分割：

如图，若

，则点P为线段AB的黄金分割点．

4．平行线分线段成比例定理

（二）相似

1.定义:

我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:

相似多边的对应边成比例,对应角相等.

3.相似三角形的判定

●

（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

●

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

●（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

●（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质

●

（1）对应边的比相等，对应角相等.

●

（2）相似三角形的周长比等于相似比.

●（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

●（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.

5.三角形中位线定义:

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线性质:

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：

梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.

梯形的中位线性质:

梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.

7.相似三角形的应用:

１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；

２、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

（三）位似:

位似:

如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.

位似性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

二、经典例题

例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．

（1）填空：

∠ABC=______，BC=_______．

（2）判定△ABC与△DEF是否相似？

[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.

例2.如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．

例3.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）

A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米

例4.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，

（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．

例6.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：

3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

三．适时训练

（一）选择题

1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（　　）（A）

　（B）

　（C）

　（D）

2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且

＝

，AE＝BE，则（　）

（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD

题2题4题5

3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（　　）

（A）1条　　　（B）2条　　　（C）3条　　　（D）4条

4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（　　）

（A）2　　　（B）3　　　（C）4　　　（D）5

5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（　　）

（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3

6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：

（1）∠B＋∠DAC＝90°；

（2）∠B＝∠DAC；（3）

＝

；（4）AB2＝BD·BC

其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（　　）

（A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个

题6题7题8

7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（　　）

（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝

︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB︰FC＝HB︰EC

8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（　　）

（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长

（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积

（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC

9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（　　）

（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25

题9题10题11

10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（　　）．

（A）5︰12　　（B）9︰5　　（C）12︰5　　（D）3︰2

11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝

AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（　　）

（A）2︰1　　（B）3︰2　　（C）3︰1　　（D）5︰2

12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（　　）

（A）4cm、

cm　（B）5cm、

cm（C）4cm、2

cm　（D）5cm、2

cm

题12

（二）填空题

13．已知线段a＝6cm，b＝2cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与

a－b的比例中项是_____cm．

14．若

＝

＝

＝－m2，则m＝______．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．

16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝

FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．

题16题17题18

17．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．

18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．

19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．

题19题20题21

20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则

△ABC的面积是______．

21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD

面积是_________．

22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8cm，AD＝8cm，BC＝14cm，

则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．

（三）解答题

23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．

24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，

求证

＝

．

25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．

26.已知：

如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．

求证：

＋

＝1．

27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：

（1）DG2＝BG·CG；

（2）BG·CG＝GF·GH．

28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．

（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？

（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．

求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．

29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC

（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？

若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设

＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的

速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝

S△ABC？

31.如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．

32.某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：

△AOB和△DOC是否相似？

某学生对上题作如下解答：

答：

△AOB∽△DOC．理由如下：

在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴

，

∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．

请你回答，该学生的解答是否正确？

如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．

33.如图：

四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：

；②如图：

若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？

你会证明吗？

34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.

35.

（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

求证：

AE//BC；

（2）如图二，将

（1）中等边△ABC的形状改成以B