黑龙江省海林市朝鲜族中学新高考数学高考数学压轴题 导数及其应用多选题分类精编附解析.docx

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黑龙江省海林市朝鲜族中学新高考数学高考数学压轴题导数及其应用多选题分类精编附解析

一、导数及其应用多选题

1．已知函数，则下列结论正确的是（）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则的最小值为

【答案】ABC

【分析】

首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．

【详解】

对于A．，解得，所以A正确；

对于B．，

当时，，当时，或，

所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，

所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．

对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：

由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．

故选：

ABC.

【点睛】

易错点点睛：

本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．

2．关于函数，，下列说法正确的是（）

A．当时，在处的切线方程为；

B．当时，存在唯一极小值点，且；

C．对任意，在上均存在零点；

D．存在，在上有且只有一个零点.

【答案】ABD

【分析】

当时，，求出，得到在处的切线的点斜式方程，即可判断选项A；求出的解，确定单调区间，进而求出极值点个数，以及极值范围，可判断选项B；令，当时，分离参数可得，设，求出的极值最值，即可判断选项C，D的真假.

【详解】

A.当时，，所以，，，所以在处的切线方程为，故正确；

B.因为，所以单调递增，又，，又，即，则，所以存在，使得，即，则在上，在上，，所以存在唯一极小值点，因为，，所以，，故正确；

C.令，当时，可得，设，则，令，解得当时，当时，，所以当，时，取得极小值，即取得极小值，又，因为在上，递减，所以，所以当，时，取得极大值，即取得极大值，又，所以，所以时，，当，即时，在上不存在零点，故C错误；

D.当，即时，与的图象只有一个交点，所以存在，在上有且只有一个零点，故D正确；

故选：

ABD

【点睛】

方法点睛：

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．

3．已知，则下列正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】ABC

【分析】

构造函数证明其在单调递减，即可得即可判断选项A；作出和的函数图象可判断选项B；作出，的图象可判断选项C；构造函数利用导数判断其在上的单调性即可判断选项D，进而可得正确选项.

【详解】

对于选项A：

因为，所以，令，

，在单调递减，所以，

即，所以即，可得，故A正确，

对于选项B：

由图象可得，恒成立，故选项B正确；

对于选项C：

要证，

令，

，是奇函数，

，是偶函数，

令，则，

因为在单调递增，所以在单调递增，而单调递增，由符合函数的单调性可知在单调递增，

其函数图象如图所示：

由图知当时恒成立，故选项C正确；

对于选项D：

令，，，

所以在单调递减，所以，

即，可得，故选项D不正确.

故选：

ABC

【点睛】

思路点睛：

证明不等式恒成立（或能成立）

一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.

4．已知函数，则下列结论正确的是（）

A．是奇函数B．当时，函数恰有两个零点

C．若为增函数，则D．当时，函数恰有两个极值点

【答案】ACD

【分析】

利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，函数的定义域为，

，函数为奇函数，A选项正确；

对于B选项，当时，，则，

所以，函数在上为增函数，又，所以，函数有且只有一个零点，B选项错误；

对于C选项，，

由于函数为增函数，则对任意的恒成立，即.

令，则，则，

所以，函数在上为增函数，

当时，，此时，函数为减函数；

当时，，此时，函数为增函数.

所以，，，C选项正确；

对于D选项，当时，，则.

由B选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

，，

由零点存在定理可知，函数在和上都存在一个零点，

因此，当时，函数有两个极值点，D选项正确.

故选：

ACD.

【点睛】

结论点睛：

利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；

（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；

（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；

（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；

（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.

5．已知函数，，则下列结论正确的是（）

A．存在唯一极值点，且

B．恰有3个零点

C．当时，函数与的图象有两个交点

D．若且，则

【答案】ACD

【分析】

根据导数求得函数在上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A正确；利用导数求得函数在，单调递减，进而得到函数只有2个零点，可判定B不正确；由，转化为函数和的图象的交点个数，可判定C正确；由，化简得到，结合单调性，可判定D正确.

【详解】

由函数，可得，则，

所以在上为单调递减函数，又由，

所以函数在区间内只有一个极值点，所以A正确；

由函数，

当时，，可得，

因为，所以，函数在单调递减；

又由，所以函数在上只有一个零点，

当时，，可得，

因为，所以，函数在单调递减；

又由，所以函数在上只有一个零点，

综上可得函数在定义域内只有2个零点，所以B不正确；

令，即，即，

设，，

可得，则，所以函数单调递增，

又由，可得当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

当时，函数取得最小值，最小值为，

又由，因为，则，且过原点的直线，

结合图象，即可得到函数和的图象有两个交点，所以C正确；

由，若时，因为，

可得，即，因为在单调递减，所以，即，

同理可知，若时，可得，所以D正确.

故选：

ACD.

【点睛】

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：

一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：

一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

6．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：

抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：

上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（）

A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上

B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为

C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值

D．一般情况下，阿基米德三角形的面积

【答案】ABC

【分析】

设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.

A：

把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；

B：

根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；

C：

根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；

D：

根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可..

【详解】

由题意可知：

直线一定存在斜率，

所以设直线的方程为：

，

由题意可知：

点，不妨设，

由，所以直线切线的方程分别为：

，

两方程联立得：

，

解得：

，所以点坐标为：

，

直线的方程与抛物线方程联立得：

.

A：

抛物线：

的焦点坐标为，准线方程为，

因为过抛物线的焦点，所以，而，

显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；

B：

因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，

即，

因为，所以化简得：

，

此时，点坐标为：

，

因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，

所以，

因此正三角形的边长为，

所以正三角形的面积为，

故本选项说法正确；

C：

阿基米德三角形为直角三角形，当时，

所以，

直线的方程为：

所以点坐标为：

，点到直线的距离为：

，

，

因为，所以，

因此直角的面积为：

，

当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确；

D：

因为，所以

，

点到直线的距离为：

所以阿基米德三角形的面积，

故本选项说法不正确.

故选：

ABC

【点睛】

关键点睛：

解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.

7．经研究发现：

任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（）

A．B．C．的值可能是D．的值可能是

【答案】ABC

【分析】

求导得，故由题意得，，即，故.进而将问题转化为，由于，故，进而得，即，进而得ABC满足条件.

【详解】

由题意可得，

因为，所以，

所以，

解得，故.

因为，所以等价于.

设，则，

从而在上单调递增.

因为，所以，即，

则（当且仅当时，等号成立），

从而，故.

故选：

ABC.

【点睛】

本题解题的关键在于根据题意得，进而将不等式恒成立问题转化为恒成立问题，再结合得，进而得.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.

8．设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（）

A．B．C．D．

【答案】ABC

【分析】

求导，分和进行讨论，当时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解.

【详解】

，求导得

当时，，单调递增，当时，；当时，；由零点存在性定理知，函数有且只有一个零点，故A，C满足题意；

当时，令，即，解得，

当变化时，，的变化情况如下表：

极大值

极小值

故当，函数取得极大值，

当，函数取得极小值

又当时，；当时，；

要使函数有且只有一个零点，作草图

或

则需，即，即，

B选项，，满足上式，故B符合题意；

则需，即，即，

D选项，，不一定满足，故D不符合题意；

故选：

ABC

【点睛】

思路点睛：

本题考查函数的零点问题，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.

9．在单位圆O：

上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（）

A．是偶函数，是奇函数；

B．在上为减函数，在上为增函数；

C．在上恒成立；

D．函数的最大值