高考数学总复习讲+练+测 专题97 抛物线讲文Word文档格式.docx

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1.考查抛物线的定义；

2.考查抛物线的标准方程，结合抛物线的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；

3.考查抛物线的几何性质；

4.考查抛物线与双曲线、椭圆的综合问题.

5.备考重点：

（1）掌握抛物线的定义、标准方程、几何性质；

（2）熟练运用方程思想及待定系数法；

（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.

【知识清单】

1.抛物线的标准方程及几何性质

图形

标准方程

y2=2px（p＞0）

y2=－2px（p＞0）

x2=2py（p＞0）

x2=－2py（p＞0）

顶点

O（0，0）

范围

x≥0，

x≤0，

y≥0，

y≤0，

对称轴

x轴

y轴

焦点

离心率

e=1

准线方程

焦半径

对点练习：

【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为（）

（A）2（B）4（C）6（D）8

【答案】B

2.抛物线的定义及应用

平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.

【答案】

【解析】

3.直线和抛物线的位置关系

（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若

①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．

（2）直线与抛物线的相交弦

设直线交抛物线于点两点，则

==

同理可得

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：

线段PQ的中点坐标为；

②求p的取值范围.

（1）

（2）①详见解析，②

（1）抛物线的焦点为

由点在直线上，得，即

所以抛物线C的方程为

（2）设，线段PQ的中点

因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,

于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为

①由消去得

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以

从而，化简得.

方程（*）的两根为，从而

因为在直线上，所以

因此，线段PQ的中点坐标为

②因为在直线上

所以，即

由①知，于是，所以

因此的取值范围为

【考点深度剖析】

纵观近几年的高考试题，高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：

一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；

二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；

三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.

选择题或填空题与椭圆、双曲线综合趋势较强，解答题增多.

【重点难点突破】

考点1抛物线的标准方程及几何性质

【1-1】已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是（）

A．2B．1C．D．

【答案】C

【解析】当直线与抛物线相切于点时，到直线的距离最小，把代入

得，由于相切得，因此，此点到准线的距离为.

【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为（）

A．y2=4xB．y2=8xC．x2=4yD．x2=8y

【1-3】已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（）.

A．B．1C．2D．4

【解析】圆化为，与圆相切，，即.

【综合点评】1.在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；

2.标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；

p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；

参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.

【领悟技法】

1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

2．求抛物线方程应注意的问题

（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；

（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；

（3）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

【触类旁通】

【变式一】如图，过抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为（　　）

A．y2＝9xB．y2＝6x

C．y2＝3xD．y2＝x

【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）

A.B.C.D.

【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），

过P作PN垂直直线x=﹣1于N，

由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，

设在PA的方程为：

y=k（x+1），所以，

解得：

k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，

所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±

1，

所以∠NPA=45°

，

=cos∠NPA=．

故选B．

【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素．

2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；

也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解.

考点2抛物线的定义及应用

【2-1】过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）

A．8B．10C．6D．4

【答案】A

【解析】由于，因此，根据焦点弦公式.

【2-2】【2017届浙江省温州市高三第二次模拟】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点．若（为坐标原点），则_______.

【解析】设，则由抛物线的定义可得，则，故，故直线的方程为代入抛物线方程整理可得，则，则，所以，应填答案。

【2-3】【2017课标II，文12】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。

若为的中点，则。

【答案】6

【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，

点评：

抛物线的定义是联系抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，解题时要注意合理转化．

【综合点评】

1．已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝或m＝讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．

2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．

1．抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．

2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．

（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

【变式1】【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为（）

【变式2】【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．

【综合点评】利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．

考点3直线和抛物线的位置关系

【3-1】2017课标II，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为（）

A.B.C.D.

【3-2】【2017届浙江省温州市高三8月模拟】过抛物线的焦点的直线分别交抛物线于两点，交直线于点，若，则______________．

【答案】0

【解析】直线是抛物线的准线，如图设在直线上的射影分别是，，，，，因为，所以，，又，所以．

【3-3】【2017课标1，文20】设A，B为曲线C：

y=上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．

（1）1；

（2）．

将代入得．

当，即时，．

从而．

由题设知，即，解得．

所以直线AB的方程为．

【综合点评】在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．

.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。

设A（x1,y1），B（x2,y2），则：

①焦点弦长

②

③，其中|AF|叫做焦半径，

④焦点弦长最小值为2p。

根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。

【变式一】【2017北京，理18】已知抛物线C：

y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：

A为线段BM的中点.

（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.

试题分析：

（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点的坐标，证明.

【变式2】【