小升初数学数论综合练习题及答案解析Word格式文档下载.docx

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8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

9．设a与b是两个不相等的非零自然数．

（1）如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?

（2）如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?

10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?

11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?

（余数可以为0）

12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?

13．证明：

形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．

（考虑除以4的余数）

14．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：

甲取走的一盒中有多少块奶糖?

15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；

第二种将木棍分成12等份；

第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?

数论综合答案

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．

【分析与解】我们知道如果有5个连

续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5．

:

当n为4时，如果其内含有5的倍数（个位数字为O或5），显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；

如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；

它们的积的个位数字都是4；

所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．

：

当n为3时，有1×

2×

3的个位数字为6，2×

3×

4的个位数字为4，3×

4×

5的个位数字为0，……，不满足．

当n为2时，有1×

2，2×

3，3×

4，4×

5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．

至于n取1显然不满足了．

所以满足条件的n是4．

【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，

67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．

所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．

【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．

其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．

所以两位幸运数只有14．

【分析与解】555555=5×

111×

1001

=3×

5×

7×

11×

13×

37

显然其最大的三位数约数为777．

【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：

2002÷

847=2……308，847÷

308=2……231，308÷

231=1……77．231÷

77=3．

不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．

【分析与解】设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．

小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×

7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．

所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．

所以，所有可能的答案为（6，10，15）；

（10，12，15）；

（10，15，18）．

【分析与解】26=2×

13，33=3×

11，34=2×

17，35=5×

7，63=×

7，85=5×

17，91=7×

13，143=11×

13．

由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：

将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．

所以，至少要分成3组．

【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．

小圆周长为×

30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120．

120÷

30=4．120÷

24=5．

所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．

（2）如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?

【分析与解】

（1）a与b的最小公倍数72=2×

3，有12个约数：

1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．

当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；

当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；

当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；

当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；

当a=12时，b无解；

当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．

总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．

（2）60=2×

5，有12个约数：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．

：

当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：

59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；

．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；

当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；

当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；

:

当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．

总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．

【分析与解】由于÷

=，÷

=．

所以狐狸跳4个米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个米的距离时，将掉进陷阱．

又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.

距离为9×

=40.5（米）．

【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198（余O）这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷

198=5……9，所以共有5×

18+9=99个这样的数．

【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．

即603÷

A=a……k；

（2×

939）÷

A=b……k；

（4×

393）÷

A=c……k．

于是有（1878－603）÷

A=b－a；

（1878－1572）÷

A=b－c；

（1572－603）÷

A=c－a．

所以A为1275，306，969的约数，（1275，306，969）=17×

3=51．

于是，A可能是51，17（不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍）．

当A为51时，有603÷

51=11……42；

939÷

51=18……21；

393÷

51=7……36．不满足；

当A为17时，有603÷

17=35……8；

17=55……4；

17=23……2；

满足．

所以，除数4