数学文化课讲课讲稿.docx

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数学文化课讲课讲稿

“数学文化”课

1.0关于“数学文化”课

【摘记】

★数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力之一。

数学与人类文明、与人类文化有着密切的关系。

★2002年，在北京国际数学家大会期间，陈省身先生为“中国少年数学论坛”活动题词“数学好玩”，鼓励青少年喜爱数学、学好数学。

★数学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。

★“数学文化”一词的内涵，简单说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及他们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。

★“数学文化”课的宗旨是提高学生的数学素养。

★不管从事什么工作，从数学课程学习中获得的数学素养，数学的思维方法和看问题的着眼点等，倒会随时随地发生作用，使人们在实践中终生受益。

★一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。

★一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量。

★数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。

★“数学素养”的通俗说法是“把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西”。

例如，从数学角度看问题的出发点；有条理的思维，严密的思考、求证；简洁、清晰、准确的表达；在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，合理的量化、简化，周到的运筹帷幄。

★“数学素养”包含五点：

一是主动寻求并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；二是熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思想的素养；三是具有良好的科学态度和创新精神，合理的提出新思想、新概念、新方法的素养；四是对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多种角度探寻解决问题的方法的素养；五是善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。

★“数学文化课”虽然要以知识为载体，却并不以传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学思想为主，以提升学生的数学素养为主。

★“数学文化课”是从数学问题、数学典故、数学观点等角度切入，并以他们为线索来组织材料，进行教学。

★在“数学文化课”中可能得到的收获有：

了解数学的历史，拓宽对数学认识，引起对数学的兴趣，感悟数学的思想，提高数学素养，学会以数学方式的理性思维观察世界的方法。

1.1数学是什么？

【摘记】

★恩格斯说：

数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。

★美国数学家柯朗说：

数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。

★法国数学家伯雷尔说：

数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。

★英国数学家罗素说：

数学是所有形如p蕴含q的命题的类，而其中命题p是否对，却无法判断，因此，数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。

★南京大学方延明教授搜集的数学的15种定义：

哲学说：

数学是一种哲学。

哲学从一门学科中的退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。

（古希腊许多数学家同时也是哲学家。

）

符号说：

数学是一种高级语言，是符号的世界。

科学说：

数学是精密的科学，数学是科学的皇后。

工具说：

数学是其他所有知识工具的源泉。

逻辑说：

数学推理依靠逻辑，数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。

创新说：

数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。

直觉说：

数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。

集合说：

数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。

结构说（关系说）：

数学是一种关系学。

模型说：

数学就是研究各种形式的模型。

活动说：

数学是人类最重要的活动之一。

精神说：

数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。

审美说：

数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。

艺术说：

数学是一门艺术。

万物皆数说：

数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。

★方延明教授本人对数学的定义：

数学是研究现实世界中数与形之间的各种形式模型的结构的一门科学，

★数学家徐利治关于数学的定义：

数学是实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的科学。

★数学的三大特点：

抽象性、精确性和应用的广泛性。

★数学的研究对象本身就是抽象的：

数学的研究对象是从众多的物质及物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。

如：

数学中研究的圆。

★数学抽象的重点在于事物的数量关系和空间形式。

★数学的抽象程度大大超过了其他学科。

★核心数学主要处理抽象概念以及概念间的抽象关系。

★数学的精确性，表现在数学推理的严格和数学结论的确定两个方面

★德国数学家汉克尔说：

在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼

★华罗庚先生说：

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。

★历史上数学应用的精彩例子：

哈雷彗星的发现、海王星的发现、电磁波的发现。

★有趣的中国现象：

作为思想教授的大学校长

丁石孙——北京大学苏步青——复旦大学

谷超豪——中国科学技术大学潘承洞——山东大学

齐民友——武汉大学伍卓群——吉林大学

吴传喜——湖北大学王梓坤——北京师范大学

陆善镇——北京师范大学王建磐——华东师范大学

史宁中——东北师范大学侯自新——南开大学

李岳生——中山大学曹策问——郑州大学

杨思明——湘潭大学展涛——山东大学

黄达人——中山大学周明儒——徐州师范大学

路钢——华中师范大学邱玉辉——西南师范大学

王国俊——陕西师范大学……

★数学与文学:

用数学方法对作品进行写作风格的分析、词汇相关程度分析和句型频谱分析，如《红楼梦》前八十回与后四十回的作者是否相同？

★数学与史学：

考古对数学史的推进，如“四阶完全幻方”。

★数学与哲学：

迪莫林说“没有数学我们就无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不透。

”

★数学与经济：

获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人占一半以上。

★数学与社会学：

社会学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的地步。

★2000年是联合国宣布的“世界数学年”，联合国教科文组织指出“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。

”世界需要这把钥匙，生活在现代社会的每个人都需要这把钥匙。

1.2数学发展简史

【摘记】

★数学发展简史分四个阶段：

数学起源时期、初等数学时期、近代数学时期、现代数学时期

★数学主要起源于四个“河谷文明”地域，即非洲的尼罗河、西亚的底格里斯河和幼发拉底河、中南亚的印度河与恒河、东亚的黄河与长江。

★刻痕记数是人类最早的数学活动。

古埃及的象形数字出现在约公元前3400年；巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年；中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年。

★远古人类的活动，从数数开始逐渐建立了自然数的概念，创造了简单的计算方法，认识了简单的几何图形，逐步形成了数学。

★初等数学时期分三个阶段：

希腊、东方和欧洲文艺复兴时代。

★数学的希腊阶段最辉煌的著作是欧几里得的几何《原本》。

★在算术与代数方面，希腊人做了不少工作，他们奠定了数论的基础，研究了丢番图方程，发现了无理数，找到了求平方根、立方根的方法，知道了算术级数与几何级数的性质。

★中国最早的数学著作《周髀算经》，实际上是从数学上讨论中国“盖天说”古代宇宙模型。

该书在数学上的主要成就是分数运算、勾股定理及其天文测量中的应用。

★《九章算术》是中国古代最重要的数学著作，书中已经给出了三元一次方程组的解法，同时在世界历史上第一次使用负数，叙述了对负数进行运算的规则，也给出了求平方根与立方根的方法。

★刘徽是中国古代最杰出的数学家，被称为“中国古代数学第一人”，他大量使用的“出入相补原理”是我国古代数学特有的推理论证方法，另外他的另一个重大贡献是发明了割圆术，并用割圆术计算圆周率π，现在称为“徽率”的157/50即3.14，作为圆周率的近似值以精确到小数点后两位。

★祖冲之在历法和数学上都有重大贡献，他计算出圆周率的上限为3.1415927，下限为3.1415926,，他的另一成就是在刘徽工作的基础上给出了球体积的计算公式，其中不仅用到了“出入相补原理”，还用到了“祖氏原理”，即“幂势既同，则积不容异”。

★宋元数学四大家：

杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。

★古代印度人发明了现代记数法，特别是发明了“0”。

★花拉子米的《还原与对消计算概念》开创了作为“解方程的科学”的代数学。

★伽利略说：

宇宙这本书是用数学的语言写成的。

★变量数学建立的第一个里程碑是1637年笛卡尔的著作《几何学》。

这本书引入了“坐标”的概念，借此把平面上的点与有序实数对建立了一一对应的关系，从而奠定了解析几何的基础。

★恩格斯说：

“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”

★微积分的起源，主要来自对解决两个方面问题的需要：

一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，以及已知速度对时间的关系求路程；二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，以及求面积和体积的问题。

★微分方程论研究的是一种方程，方程中的未知项不是数而是函数；变分法研究的是一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数；微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。

18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析“，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科之一，并在18世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。

★现代数学时期分三个阶段：

现代数学酝酿阶段、现代数学形成阶段、现代数学繁荣阶段。

★庞加莱是高斯和柯西之后无可争议的数学大师，他在微分方程自守函数、天体力学、拓扑学等方面的研究都有开创性的工作，可以说他是一位“万能数学家”。

1.3数学的魅力

【摘记】

★数学是最具有魅力的，就如同音乐、图画具有魅力一样。

★渔网的几何规律：

相信大家都见过渔网，如果没有见过的话，你一定见过用绳索编织的其他某种网。

你是否知道，用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数（V），网眼数（F），边数（E）都必须符合下面的公式：

V+F-E=1

网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但是，他们全都满足同样的规律，这里，当然有其内在的本质。

而用数学方法，不但可以表达这种本质，还可以证明这种本质。

你看，是不是具有某种魅力？

事实上，这种规律在三维的情形，就是多面体的欧拉公式：

V+F-E=2。

这里，V表示凸多面体的顶点数，F表示凸多面体的面数，E表示凸多面体的棱数。

你可能知道多面体的这个欧拉公式，它对任何凸多面体都普遍适用，而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公式在二维时的情形。

数学就是有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。

★任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多

标题中给出的问题在数学上是一个“存在性问题”。

可以改述为“任何一个省会城市中一定存在两个头发根数一样多的人”。

对于存在性问题，通常有两类证明方法：

一类是构造性证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。

上述命题如果采用构造性证明的方法，就是一个一个地去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，