高三理科数学高考专项练习26分类讨论思想Word文档格式.docx
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若a5为奇数,有1=3a5+1;
所以a5=0,不成立.
综上可知a1=4或5或32.
答案:
D
点评:
此题考查了分类讨论的应用,要注意数列中的条件是an为奇数或偶数,而不是n为奇数或偶数.
2.已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上的最大值为4,则a等于( )
A.-3B.-
C.3D.或-3
当a<
0时,在x∈[-3,2]上,当x=-1时取得最大值,得a=-3;
当a>
0时,在x∈[-3,2]上,当x=2时取得最大值,得a=.
3.对一切实数,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2)B.[-2,+∞)
C.[-2,2]D.[0,+∞)
此题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为y=x+型,通过求解函数的最值得到结论.由不等式x2+a|x|+1≥0对一切实数恒成立.①当x=0时,则1≥0,显然成立;
②当x≠0时,可得不等式a≥-|x|-对x≠0的一切实数成立.令f(x)=-|x|-=-≤-2.当且仅当|x|=1时,“=”成立.
∴f(x)max=-2,故a≥f(x)max=-2.
B
4.0<
b<
1+a,若关于x的不等式(x-b)2>
(ax)2的解集中的整数恰有3个,则( )
A.-1<
a<
0B.0<
1
C.1<
3D.3<
6
(x-b)2-(ax)2>
0,(x-b-ax)(x-b+ax)>
0.
即[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>
0.①
令x1=,x2=.
∵0<
1+a,则0<
<
1,即0<
x2<
1.
当1-a>
0时,若0<
1,则不等式①的解集为∪,不符合题意.
若-1<
0,不等式的解集为∪,不符合题意.
当1-a<
0时,即a>
1时,需x1=<
-2,a+1>
b>
-2(1-a),∴a<
3.
综上,1<
3.应选C.
C
5.已知a=(-1,-2),b=(1,λ).若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A.B.
C.∪(2,+∞)D.(2,+∞)
∵〈a,b〉为钝角,∴a·
0,即有λ>
-.又当λ=2时,a与b反向.应选C.
6.对任意两实数a,b定义运算“”如下,ab=则函数f(x)=log(3x-2)log2x的值域为( )
A.(-∞,0]B.[log2,0]
C.[log2,+∞)D.R
根据题目给出的情境,得f(x)=log(3x-2)log2x=log2log2x=由于y=log2x的图象在定义域上为增函数,可得f(x)的值域为(-∞,0].应选A.
A
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
7.若函数f(x)=4x+a·
2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为________.
设2x=t(t>
0),则函数可化为g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞),函数f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数g(t)在(0,+∞)上有零点.
(1)当函数g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a应满足
解得-1<
a≤2-2.
(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<
0,解得a<
-1.
(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数g(t)的另一个零点是1,符合题目要求.综合
(1)
(2)(3)知a的取值范围是a≤2-2.
a≤2-2
8.连掷两次骰子得到的点数为m和n,记向量a=(m,n),与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是________.
∵m>
0,n>
0,
∴a=(m,n)与b=(1,-1)不可能同向.
∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,]⇔a·
b≥0,∴m≥n.
当m=6时,n=6,5,4,3,2,1;
当m=5时,n=5,4,3,2,1;
当m=4时,n=4,3,2,1;
当m=3时,n=3,2,1;
当m=2时,n=2,1;
当m=1时,n=1;
∴概率是=.
9.当点M(x,y)在如下图的△ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k的取值范围是________.
如图,延长BC交y轴于点D,目标函数z=kx+y中z的几何意义是直线kx+y-z=0在y轴上的截距,由题意得当此直线经过点C(1,2)时,z取得最大值,显然此时直线kx+y-z=0与y轴的交点应该在点A和点D之间,而kAC==1,kBD=kBC==-1,直线kx+y-z=0的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得k∈[-1,1].
[-1,1]
10.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>
|PF2|,则的值为________.
若∠PF2F1=90°
,
则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.
∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2.
解得|PF1|=,|PF2|=.∴=.
若∠F1PF2=90°
,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2.
解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.
综上,=或2.
或2
三、解答题:
本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
11.(12分)已知a>
0,且a≠1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件=1-.数列{bn}中,bn=an·
lgan.
(1)求数列{bn}的前n项和Tn;
(2)若对一切n∈N,都有bn<
bn+1,求a的取值范围.
分析:
(1)此题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.
(2)应注意分a>
1和0<
1讨论.
解:
(1)=1-,∴Sn=.
当n=1时,a1=S1==a;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.
∴an=an(n∈N).此时,bn=an·
lgan=n·
anlga.
∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).
设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.
∴un=-.
∴Tn=lga[-].
(2)由bn<
bn+1⇒nanlga<
(n+1)an+1lga.
①当a>
1时,由lga>
0,可得a>
.
∵<
1(n∈N),a>
1,∴a>
对一切n∈N都成立,此时a的范围为a>
②当0<
1时,由lga<
0可得n>
(n+1)a,即a<
,即a<
min.
∵≥,∴a<
时,对一切n∈N,a<
都成立,此时,a的范围为0<
由①②知:
对一切n∈N,都有bn<
bn+1的a的范围是0<
或a>
12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>
0)上两点.已知m=,n=,若m·
n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;
(3)试问△AOB的面积是否为定值?
如果是,请给予证明;
如果不是,请说明理由.
(1)由e==及b=1可求a.
(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·
n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.
(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.
∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.
(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,
由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.
∴x1+x2=,x1x2=.
由已知m·
n=0得:
+=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=x1x2+k(x1+x2)+
=+k·
+=0.解得k=±
(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,
y1=-y2,由m·
n=0得x-=0⇒y=4x.
又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,
∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·
2|y1|=1,所以三角形面积为定值.
②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:
(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,
∴S=·
|AB|=|b|===1.
所以△ABC的面积为定值.
此题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.