公理系统与公理化方法解析思考Word文档下载推荐.docx

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从几个基本概念和不证自明的公理出发，一步步逻辑推导出来的。

在从一个基本概念出发，推演过程中，离不开人的逻辑，人的逻辑是重要的。

公理系统

公理系统（axiomaticsystem）就是把一个科学理论公理化，用公理方法研究它，每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系。

公理化的实现就是：

①从其诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；

②从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。

应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。

由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。

初始概念和公理是公理系统的出发点[2] 

。

公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。

最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。

第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。

他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题[3] 

例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设（以现代观点来看，公设也是公理），平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得。

公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性（无矛盾性）、完全性，以及公理的独立性。

其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的[3] 

由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。

如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这种认识。

在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是无需证明的。

因为数学公理是在基本事实或自由构造的基础上为了研究方便人为设定的。

有些是一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导，如1+1=2。

一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统。

如欧几里德几何公理系统。

因为要先定义概念，所以就要有一些初始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。

实例

（a）传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理。

如“有生必有死”，就属于这种判断。

（b）在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理：

①等于同量的量彼此相等。

②等量加等量，其和相等。

③等量减等量，其差相等。

④彼此能重合的物体是全等的。

以下是常用的等量公理的代数表达：

①如果a=b，那么a+c=b+c。

②如果a=b，那么a－c=b－c。

③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。

④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。

⑤如果a=b，b=c，那么a=c。

公理集合论

公理集合论（axiomaticsettheory）是数理逻辑的主要分支之一。

是用公理化方法重建（朴素）集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。

1908年，E.策梅洛首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论。

20世纪20年代，A.弗伦克尔和A.斯科朗对此予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛—弗伦克尔公理系统，简记为ZF。

ZF是一个形式系统，建立在有等词和关系符号“∈”（与朴素集合论中的属于关系相对应）的一阶谓词演算之上。

它的非逻辑公理有：

外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、替换公理模式、正则（基础）公理。

如果另加选择公理（AC），则所得到的公理系统简记为ZFC。

现已证明：

ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言工具。

[4] 

但是由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的[5] 

由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明。

由于几乎全部数学都可归约为集合论，所以ZF系统的一致性一直是集合论中至关重要的问题。

但根据哥德尔的不完全性定理，却无法在ZF系统内证明自身的一致性。

此外，一些重要的命题，如连续统假设也是在ZF中不可判定的。

寻找这些不可判定问题并证明其不可判定性和扩充ZF，以期在扩充后的系统中判定这些命题，就成了公理集合论研究的两个出发点。

1963年，美国学者P.科恩创立力迫法，从而证明了集合论中的一大批独立性问题。

公理化

概括地说，几何学的公理化方法是从少数初始概念和公理出发，遵遁逻辑原则建立几何学演绎体系的方法。

用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成：

①初始概念的列举。

②定义的叙述。

③公理的列举。

④定理叙述和证明。

这四个组成部分不是独立地叙述和展开，而是相互交织、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎。

一般说来，用公理化方法建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和逻辑结构构成的统一体。

决定几何体系的基础是初始概念和公理，不同的公理基础决定不同的几何体系，例如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何、拓扑学等。

几何体系的逻辑结构，主要取决于公理提出的先后次序，同一种几何体系由于公理系统的编排次序不同，可以产生不同的逻辑结构．例如，中学几何中的“外角定理”和三角形全等（合同）的“角角边定理”是在平行公理之后提出的，因此可根据平行公理的推论“三角形内角和等于二直角”很容易给予证明。

但在希尔伯特所建立的欧氏几何的体系中，由于这两个定理是在平行公理之前提出的，就不允许使用“三角形内角和”定理。

即同一欧氏几何可有多种逻辑结构，一个几何命题的证法不是通用的，它在一种逻辑结构中适用，而在另一种逻辑结构中可能不适用。

公理化方法 

公理化思想 

任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而 

导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。

公理化是一种数学方法。

最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’（如两点之间可连一直线）是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” 

（如三对应边相等的陌个三角形垒等）则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特（David 

Hilbert）在他的几何基础研究中系统地提出数学的公理化方法。

所谓公所理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本命题）出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。

所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系，而并非人们自由意志的随意创造。

目录

1 

简介

2 

历史发展

产生

发展

形式化

3 

作用意义

分析、总结数学知识

数学研究的基本方法

科学研究的对象

示范作用

4 

基本要求

5 

方法运用

6 

公理证明

产生背景

庞卡莱模型

对数学发展的影响

恩格斯曾说过：

数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。

公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。

现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。

公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用．

公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．

亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．

公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；

“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．

公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：

实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。

《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：

（1）有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；

（2）有些定义是多余的；

（3）有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；

（4）有的公理（即平行公理）是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展．

第五公设（即平行公设）内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明．因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑．从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里（ 

Saccheri，1667—1733）和兰勃特（ 

Lambert，1728-1777）等人考虑了两个可能的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败．然而，在这些失败中