弹性力学简明教程第四版课后习题解答Word下载.docx
《弹性力学简明教程第四版课后习题解答Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学简明教程第四版课后习题解答Word下载.docx（50页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（1）连续性假定：
假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：
假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：
假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：
假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：
假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于lo这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。
在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
方程都简化为线性的微分方程。
n-41应力和面力的符号规定有什么区别试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和
正的面力的方向。
【解答】应力的符号规定是：
当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时）.这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。
当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。
面力的符号规定是：
当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。
由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。
y
―—
正面
<
7
兔X
（7
负面
正的应力
负血
正的面力
ri-5i试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。
【解答沖才料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。
弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正.反之为负。
ri-6i试举例说明正的应力对应于正的形变。
【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。
正的正应力对应于正的正应变：
轴向拉伸情况下，产生轴向拉应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。
正的切应力对应于正的切应变：
在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引起直角减<
|\・故为正的切应变。
n-7]试画出图is中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。
0二
正的体力、面力
[1-8J试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。
[1-91在图1・3的六面体上.y面上切应力J；
的合力与Z面上切应力仝v的合力是否相等
【解答】切应力为单位面上的力，量纲为UlMT-2,单位为因此，应力的合
力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxxdyx衣，则y面上切应力的合力为：
T\；
・dx・dz（a）
乙面上切应力的合力为：
rzy・dx・dy（b）
由式（a）（b）可见，两个切应力的合力并不相等。
【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性。
第二童平面冋题的基本理论
L2-1］试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中（图2・14）其应力状态接近于平面应力的情况。
【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有^=rrc=rvc=0,只存在平面应力分量,且它们不沿Z方向变化，仅为兀y的函数c可以认为此问题是平面应力冋题。
【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等暉度薄片中（2-15）,当板边上只受耳y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。
【解答】板上处处受法向约束肘6=0,且不受切向面力作用.则//人广&
=°
（相应。
^=“‘=0）板边上只受兀y向的面力或约束，所以仅存2在儿〉•，且不沿厚度变化，仅为兀y的函数，故其应变状态接近于平面2应变的情况。
彳
［2-3］在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件工Me=0改为对角点的力矩平衡条件，试冋将导出什么形式的方程
【解答】将对形心的力矩平衡条件工Me=0,改为分别对四个角点A、E、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方向的尺寸取为单位lo
xy
（yvdx-1-—+（（7+-dx）dy-1-—-（r+-dx）dyAdx-ady•1
52xdx2■-dx'
2
CC.dxAydx"
）
_（o\+——-dy）dx・1-—+（rvv+——dy）dx・I-dy+fxdxdy-1—-fxdxdy-1-—=0dy2dy2'
xv
VX
（6+手dx）dy•1•£
+（—+牛dy）dxldy+（b、.+孚dy）dx-l~
&
x2dydy2⑹
-T^dyldx-（Jxdy-l----crvi/r-b—+fxdxdy•1•©
+fydxdy•1•—=0
222
Ob、dxdy
（crv+dy）dx・l-—-rxydy・ia+o\/fy・1•亠・l・dy
（C）
9r
_o\dx•1•*一（o\+dx）dyf@xdy亠弓+口血亠牛=0
工“卜：
=0
/“、1、］,dxttdyf_...dx
一（o\+—-dy）ax-1——+o\dy-b—+jdx・ldy+（Jvaxl
dy2-2■2
a•」^」」（①
go、dvzorvv、dyax
（<
7V+——-dx）dy・1-—-（rn.+——dx）dy・1・心_fxdxdy-1-—+fxdxdy・1——=0
2dx22
略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三阶小量（亦即令d2xdy,dxd2y都趋于0）,并将各式都除以如y后
合并同类顷，分别得到r,v=rvxO
【分析】由本题可得出结论：
微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定
So
【24】在图2・3和微分体中.若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的.验证将导出什么形式的平衡微分方程
【解答】微分单元体ABCD的边长didy都是微量.因此可以假设在各面上所受的应力如图a所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。
为计算方便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位。
八兀CX
uf.E^
D-\I/
II
人rD
ff
BC
付品rmWT］捕』）
（a）（b）
各点正应力：
de
de.
（6）。
=巧+云加;
（S）c=
=6+身力+詈勿；
帖、ga
（yv+——-ax+——-cv
'
dx內
各点切应力:
（r.n）A=Txy；
（a+g^dy；
dx;
oror
（讥〜+式如斗dy
drdr
（讥f+云如孑如
由微分单元体的平衡条件SFv=0,込.=0,得
dx
dy+dx］心+fydxdy=0
以上二式分别展开并约简，再分别除以dxdy,就得到平面冋题中的平衡微分方程:
d（rdrdadr
盂+孟"
"
斗+式T'
T
XV
【分析】由本题可以得出结论：
弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。
[2-5]在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定这些方程的适用条件是什么
（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：
物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。
（2）在导出平面冋题的物理方程时应用的基本假定是：
连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假定，即理想弹性体假定。
同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。
【思考题】平面冋题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定
[2-6]在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力冋题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。
试根据相应的物理方程来解释这种现象。
【解答】体力相同情况下，两类平面冋题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。
由物理方程可以看出，两类平面冋题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。
由于E为GPa级别的量，而泊松比〃取值一般在（0,）,故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面冋题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/E要大于平面应变问题的系数
（1-//2）/Eo因此，平面应力冋题情况下应变要大，故钢圆环变形大。
[2-7]在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的冋题和两类平面冋
题的应力分量b"
b、.和均相同。
试问其余的应力，应变和位移是否相同
【解答I
（1）应力分量：
两类平面问题的应力分量6，j和口•均相同，但平面应力冋题6=r>
z=rxz=0t而平面应变问题的j=冬=Oq=“（q+q）。
（2）应变分量：
已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面冋题的物理方程不相同，故应变分量N=d=0,爲相同，而5心，6不相同。
（3）位移分量：
由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面冋题也不同。
图2・16
【2・8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的6“之间的关系式
【解答】由题可得：
I=cosa.m=cos（a-90）=sina
fx（AB）=0j>
\AB）=0
将以上条件代入公式（2-15）,得：
（6）皿cosa+（rvv）^sma=0,（b,）刖sina+
升级会员 