全等三角形中辅助线的添加Word文件下载.docx

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在……上截取……，使……等于……；

（7）作角平分线：

作……平分……；

作角……等于已知角……；

（8）作一个角等于已知角：

作角……等于……。

2、全等三角形中的基本图形的构造与运用

常用的辅助线的添加方法：

（1）倍长中线（或类中线）法：

若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

（2）截长补短法：

若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：

在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

②补短：

将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；

或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：

两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

（4）角平分线、中垂线法：

以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：

用旋转构造三角形全等。

（6）构造特殊三角形：

主要是30°

、60°

、90°

、等腰直角三角形（用平移、对称和弦图也可以构造）和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。

三、基本模型：

（1）

△ABC中AD是BC边中线

方式1：

延长AD到E，使DE=AD，连接BE

方式2：

间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE

方式3：

延长MD到N，使DN=MD，连接CD

（2）

由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出

BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD

（3）角分线，分两边，对称全等要记全

角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）

（4）

①旋转：

方法：

延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）

结论：

①MN=BM+DN②③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

②翻折：

思路:

分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=且AB=AD）

（5）手拉手模型

①△ABE和△ACF均为等边三角形

（1）△ABF≌△AEC；

（2）∠B0E=∠BAE=60°

（“八字型”模型证明）；

（3）OA平分∠EOF

拓展：

条件：

△ABC和△CDE均为等边三角形

（1）、AD=BE

（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形

（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC

（8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）

②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

（1）、BE=CD

（2）BE⊥CD

③ABEF和ACHD均为正方形

（1）、BD⊥CF

（2）、BD=CF

变形一：

ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，

求证：

①T为FD的中点.②

方法一：

方法二：

方法三：

变形二：

ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：

AN⊥BC

④当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：

∠1=∠2=.

四、典型例题：

考点一：

倍长中线（或类中线）法：

核心母题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

练习：

1、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：

CD=2CE。

考点二：

截长补短法：

核心母题如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：

AB=AD+BC．

1、在△ABC中，∠BAC=60°

，∠C=40°

，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：

AB+BP=BQ+AQ。

2、如图，在中，，AD，CE分别为的平分线，求证：

AC=AE+CD

3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°

，∠ACD=60°

BD+DC=AB

4、已知：

如图在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60°

，∠ADB=90°

－∠BDC，求证：

AB=BD＋DC。

考点三：

一线三等角问题（“K”字图）

核心母题已知：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，D是BC边上一点，∠ADE=45°

，AD=DE，求证：

BD=EC.

1、已知：

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：

AE平分∠BAD．

2、两个全等的含30°

，60°

角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

3、如图所示，AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？

考点四：

角平分线、中垂线法

核心母题

1、在中，，是的平分线．是上任意一点．

．

2、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：

BD=2CE．

3、如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：

BE-AC=AE

考点五：

角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法

核心母题如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°

，求证：

EF=BE+DF.

练习

1、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°

AD平分∠CDE.

2、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°

，求五边形ABCDE的面积．

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1．求∠BPC的度数

考点六：

构造特殊三角形

核心母题如图，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD=15°

，∠ADC=4∠BAD，DC=2BD．

（1）求∠B的度数；

（2）求证：

∠CAD=∠B．