届北京市西城区高三一模理科数学试题及答案 精品 精品Word格式文档下载.docx
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(C)5
(D)6
8.如图,设为正四面体表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素,那么符合条件的点P有()
(A)4个
(B)6个
(C)10个
(D)14个
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.设复数,其中,则______.
10.若抛物线的焦点在直线上,则_____;
的准线方程为_____.
11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,那么它的侧(左)视图面积的最小值是________.
12.若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数的取值范围是_______.
13.科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______.(用数字作答)
14.如图,在直角梯形中,,,,,,P为线段(含端点)上一个动点,设,,对于函数,给出以下三个结论:
当时,函数的值域为;
,都有成立;
,函数的最大值都等于4.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)如果,,求△ABC的面积.
16.(本小题满分13分)
在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
寿命(天)
频数
频率
20
30
70
50
合计
200
(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a,b的值;
(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了个,如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值;
(Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用,若以上述频率作为概率,用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X的分布列和数学期望.
17.(本小题满分14分)
如图,在四棱柱中,底面和侧面都是矩形,是的中点,,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
//平面;
(Ⅲ)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度.
18.(本小题满分13分)
已知函数其中.
(Ⅰ)当时,求函数的图象在点处的切线方程;
(Ⅱ)如果对于任意,且,都有,求的取值范围.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆,直线l与W相交于两点,与x轴、轴分别相交于、两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)若直线的方程为,求外接圆的方程;
(Ⅱ)判断是否存在直线,使得是线段的两个三等分点,若存在,求出直线l的方程;
若不存在,说明理由.
20.(本小题满分13分)
在数列中,.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为,并称为数列的项子列.例如数列为的一个4项子列.
(Ⅰ)试写出数列的一个3项子列,并使其为等差数列;
(Ⅱ)如果为数列的一个5项子列,且为等差数列,证明:
的公差满足;
(Ⅲ)如果为数列的一个项子列,且为等比数列,证明:
.
北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学(理科)2014.4
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C2.B3.D4.C
5.D6.A7.A8.C
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.
11.12.
13.14.,
注:
第10题第一问2分,第二问3分.第14题若有错选、多选不得分.
本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
因为,
所以,………………3分
又因为,
所以.………………5分
(Ⅱ)解:
因为,,
所以.………………7分
由正弦定理,………………9分
得.………………10分
所以,
解得,
所以.………………11分
故△ABC的面积.………………13分
,.………………2分
由表可知:
灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个,
所以优等品、正品和次品的比例为.………………4分
所以按分层抽样法,购买灯泡数,
所以的最小值为.………………6分
(Ⅲ)解:
的所有取值为.………………7分
由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为,………8分
从本批次灯泡中购买3个,可看成3次独立重复试验,
所以,
,
.………………11分
所以随机变量的分布列为:
1
2
3
………………12分
所以的数学期望.
………………13分
(注:
写出,,.请酌情给分)
(Ⅰ)证明:
因为底面和侧面是矩形,
所以,,
又因为,
所以平面,………………2分
因为平面,
所以.………………4分
(Ⅱ)证明:
所以四边形是平行四边形.
连接交于点,连接,则为的中点.
在中,因为,,
所以.………………6分
又因为平面,平面,
所以平面.………………8分
由(Ⅰ)可知,
又因为,,
所以平面.………………9分
设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴
如图建立空间直角坐标系,
设,则.
设平面法向量为,
由得
令,得.………………11分
令,得.………………12分
由平面与平面所成的锐二面角的大小为,
得,………………13分
解得.………………14分
18.(本小题满分13分)
由题意,得,其中,………………2分
所以,
所以函数的图象在点处的切线方程为.………………4分
先考察函数,的图象,
配方得,………………5分
所以函数在上单调递增,在单调递减,且.
………………6分
因为对于任意,且,都有成立,
所以.………………8分
以下考察函数,的图象,
则,
令,解得.………………9分
随着变化时,和的变化情况如下:
↘
↗
即函数在上单调递减,在上单调递增,且.………………11分
因为对于任意,且,都有成立,
所以.………………12分
因为(即),
所以的取值范围为.………………13分
因为直线的方程为,
所以与x轴的交点,与轴的交点.………………1分
则线段的中点,,………………3分
即外接圆的圆心为,半径为,
所以外接圆的方程为.………………5分
结论:
存在直线,使得是线段的两个三等分点.
理由如下:
由题意,设直线的方程为,,,
则,,………………6分
由方程组得,………………7分
所以,(*)………………8分
由韦达定理,得,.………………9分
由是线段的两个三等分点,得线段的中点与线段的中点重合.
所以,………………10分
解得.………………11分
由是线段的两个三等分点,得.
所以,………………12分
即,
解得.………………13分
验证知(*)成立.
所以存在直线,使得是线段的两个三等分点,此时直线l的方程为,或.………………14分
答案不唯一.如3项子列,,;
………………2分
由题意,知,
所以.………………3分
若,
由为的一个5项子列,得,
所以.
所以,即.
这与矛盾.
所以.
所以,………………6分
因为,,
所以,即,
综上,得.………………7分
(Ⅲ)证明:
由题意,设的公比为,
则.
因为为的一个项子列,
所以为正有理数,且,.
设,且互质,).
当时,
所以
,
所以.………………10分
当时,
因为是中的项,且互质,
所以,
所以.
综上,.………………13分