届北京市西城区高三一模理科数学试题及答案 精品 精品Word格式文档下载.docx

届北京市西城区高三一模理科数学试题及答案 精品 精品Word格式文档下载.docx

《届北京市西城区高三一模理科数学试题及答案 精品 精品Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届北京市西城区高三一模理科数学试题及答案 精品 精品Word格式文档下载.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（C）5

（D）6

8.如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）

（A）4个

（B）6个

（C）10个

（D）14个

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．设复数，其中，则______．

10.若抛物线的焦点在直线上，则_____；

的准线方程为_____．

11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.

12．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.

13.科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______.（用数字作答）

14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：

当时，函数的值域为；

，都有成立；

，函数的最大值都等于4.

其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）如果，，求△ABC的面积.

16．（本小题满分13分）

在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

寿命（天）

频数

频率

20

30

70

50

合计

200

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；

（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；

（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求证：

//平面；

（Ⅲ）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

18．（本小题满分13分）

已知函数其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，且，都有，求的取值范围.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆，直线l与W相交于两点，与x轴、轴分别相交于、两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线的方程为，求外接圆的方程；

（Ⅱ）判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；

若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列为的一个4项子列.

（Ⅰ）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列；

（Ⅱ）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：

的公差满足；

（Ⅲ）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：

.

北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科）2014.4

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C2．B3．D4．C

5．D6．A7．A8．C

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．10．

11．12．

13．14．,

注：

第10题第一问2分，第二问3分.第14题若有错选、多选不得分.

本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

因为，

所以，………………3分

又因为，

所以.………………5分

（Ⅱ）解：

因为，，

所以.………………7分

由正弦定理，………………9分

得.………………10分

所以，

解得，

所以.………………11分

故△ABC的面积.………………13分

，.………………2分

由表可知：

灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，

所以优等品、正品和次品的比例为.………………4分

所以按分层抽样法，购买灯泡数，

所以的最小值为．………………6分

（Ⅲ）解：

的所有取值为.………………7分

由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，………8分

从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，

所以，

，

.………………11分

所以随机变量的分布列为：

1

2

3

………………12分

所以的数学期望．

………………13分

（注：

写出，，.请酌情给分）

（Ⅰ）证明：

因为底面和侧面是矩形，

所以，，

又因为，

所以平面，………………2分

因为平面，

所以.………………4分

（Ⅱ）证明：

所以四边形是平行四边形.

连接交于点，连接，则为的中点.

在中，因为，，

所以.………………6分

又因为平面，平面，

所以平面.………………8分

由（Ⅰ）可知，

又因为，，

所以平面.………………9分

设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴

如图建立空间直角坐标系，

设，则.

设平面法向量为，

由得

令，得.………………11分

令，得.………………12分

由平面与平面所成的锐二面角的大小为，

得，………………13分

解得.………………14分

18.（本小题满分13分）

由题意，得，其中，………………2分

所以，

所以函数的图象在点处的切线方程为.………………4分

先考察函数，的图象，

配方得，………………5分

所以函数在上单调递增，在单调递减，且.

………………6分

因为对于任意，且，都有成立，

所以.………………8分

以下考察函数，的图象，

则，

令，解得.………………9分

随着变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

即函数在上单调递减，在上单调递增，且.………………11分

因为对于任意，且，都有成立，

所以.………………12分

因为（即），

所以的取值范围为.………………13分

因为直线的方程为，

所以与x轴的交点，与轴的交点.………………1分

则线段的中点，，………………3分

即外接圆的圆心为，半径为，

所以外接圆的方程为.………………5分

结论：

存在直线，使得是线段的两个三等分点.

理由如下：

由题意，设直线的方程为，，，

则，，………………6分

由方程组得，………………7分

所以，（*）………………8分

由韦达定理，得,.………………9分

由是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合.

所以，………………10分

解得.………………11分

由是线段的两个三等分点，得.

所以，………………12分

即，

解得.………………13分

验证知（*）成立.

所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，或.………………14分

答案不唯一.如3项子列，，；

………………2分

由题意，知，

所以.………………3分

若，

由为的一个5项子列，得，

所以.

所以，即.

这与矛盾.

所以.

所以，………………6分

因为，，

所以，即，

综上，得.………………7分

（Ⅲ）证明：

由题意，设的公比为，

则.

因为为的一个项子列，

所以为正有理数，且，.

设，且互质，）.

当时，

所以

，

所以.………………10分

当时，

因为是中的项，且互质，

所以，

所以.

综上，.………………13分