立体几何高考题模拟试题带答案解析Word下载.docx
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BC⊥平面PBD;
(Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点,,试确定λ的值,使得二面角Q﹣BD﹣P为45°
.
4.(2014?
江苏)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
5.(2014?
黄山一模)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(1)求证:
AF∥平面PCE;
(2)求证:
平面PCE⊥平面PCD;
(3)求四面体PEFC的体积.
6.(2014?
南海区模拟)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点.
PO⊥平面ABCD;
OE∥平面PDC;
(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.
7.(2014?
天津模拟)如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
B1B∥平面D1AC;
平面D1AC⊥平面B1BDD1.
8.(2013?
北京)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(Ⅰ)PA⊥底面ABCD;
(Ⅱ)BE∥平面PAD;
(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.
9.(2013?
天津)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(Ⅰ)证明:
EF∥平面A1CD;
(Ⅱ)证明:
平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
10.(2013?
浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°
,G为线段PC上的点.
BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.
11.(2013?
湖南)如图.在直棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°
,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.
(1)证明:
AD⊥C1E;
(2)当异面直线AC,C1E所成的角为60°
时,求三棱锥C1﹣A1B1E的体积.
12.(2012?
山东)如图,几何体E﹣ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
BE=DE;
(Ⅱ)若∠BCD=120°
,M为线段AE的中点,求证:
DM∥平面BEC.
13.(2012?
江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
14.(2011?
天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°
,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.
PB∥平面ACM;
AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
15.(2011?
北京)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
(Ⅱ)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.
16.(2010?
深圳模拟)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点
EF∥平面SAD
(2)设SD=2CD,求二面角A﹣EF﹣D的大小.
17.(2010?
重庆)如图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.
AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
2014年12月05日
参考答案与试题解析
考点:
直线与平面垂直的判定;
直线与平面平行的判定.
专题:
综合题;
空间位置关系与距离.
分析:
(Ⅰ)证明四边形ABCE是平行四边形,可得O是AC的中点,利用F为线段PC的中点,可得PA∥OF,从而可证AP∥平面BEF;
(Ⅱ)证明BE⊥AP、BE⊥AC,即可证明BE⊥平面PAC.
解答:
证明:
(Ⅰ)连接CE,则
∵AD∥BC,BC=AD,E为线段AD的中点,
∴四边形ABCE是平行四边形,BCDE是平行四边形,
设AC∩BE=O,连接OF,则O是AC的中点,
∵F为线段PC的中点,
∴PA∥OF,
∵PA?
平面BEF,OF?
平面BEF,
∴AP∥平面BEF;
(Ⅱ)∵BCDE是平行四边形,
∴BE∥CD,
∵AP⊥平面PCD,CD?
平面PCD,
∴AP⊥CD,
∴BE⊥AP,
∵AB=BC,四边形ABCE是平行四边形,
∴四边形ABCE是菱形,
∴BE⊥AC,
∵AP∩AC=A,
∴BE⊥平面PAC.
点评:
本题考查直线与平面平行、垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键
(Ⅰ)先证明AA1⊥平面ABC,可得AA1⊥BC,利用AC⊥BC,可以证明直线BC⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)取AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,证明四边形MDEO为平行四边形即可.
∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形,
∴AA1⊥AB,AA1⊥AC,
∵AB∩AC=A,
∴AA1⊥平面ABC,
∵BC?
平面ABC,
∴AA1⊥BC,
∵AC⊥BC,AA1∩AC=A,
∴直线BC⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)解:
取AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点,则O为AC1的中点.
连接MD,OE,则MD∥AC,MD=AC,OE∥AC,OE=AC,
∴MD∥OE,MD=OE,
连接OM,则四边形MDEO为平行四边形,
∴DE∥MO,
∵DE?
平面A1MC,MO?
平面A1MC,
∴DE∥平面A1MC,
∴线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.
本题考查线面垂直的判定与性质的运用,考查存在性问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
直线与平面平行的判定;
与二面角有关的立体几何综合题.
证明题.
(Ⅰ)取PD的中点F,连接EF、AF,由中位线得性质和AB∥CD及AB=1证出四边形ABEF为平行四边形,则BE∥AF,根据线面平行的判定得BE∥平面PAD;
(Ⅱ)由平面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD证出PD⊥AD,利用三条线相互垂直关系,建立直角坐标系,求出,即BC⊥DB,再由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BC,即证BC⊥平面PBD;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)建立的坐标系和结论,求出平面PBD的法向量,利用求出Q的坐标,再利用垂直关系求平面QBD的法向量的坐标,由两个法向量的数量积运算表示二面角的余弦值,化简后求出λ∈(0,1)的值.
解:
(Ⅰ)取PD的中点F,连接EF,AF,
∵E为PC中点,∴EF∥CD,且,
在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,
∴EF∥AB,EF=AB,∴四边形ABEF为平行四边形,
∴BE∥AF,∵BE?
平面PAD,AF?
平面PAD,
∴BE∥平面PAD.(4分)
(Ⅱ)∵平面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,∴PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AD.(5分)
如图,以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz.
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1).(6分)
,,
∴,BC⊥DB,(8分)
又由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BC,
∴BC⊥平面PBD.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,平面PBD的法向量为,(10分)
∵,,且λ∈(0,1)
∴Q(0,2λ,1﹣λ),(11分)
设平面QBD的法向量为=(a,b,c),,,
由,,得
,
∴,(12分)
∴,(13分)
因λ∈(0,1),解得.(14分)
本题用了几何法和向量法进行证明平行及垂直关系、求值,有中点时通常构造中位线证明线线平行,根据线面平行的判定定理转化到线面平行;
向量法主要利用数量积为零证明垂直,对待二面角、线面角问题用向量法要简单些,建立坐标系要利用几何体中的垂直条件.
平面与平面垂直的判定;
直线与平面垂直的判定.
证明题;
(1)由D、E为PC、AC的中点,得出DE∥PA,从而得出PA∥平面DEF;
(2)要证平面BDE⊥平面ABC,只需证DE⊥平面ABC,即证DE⊥EF,且DE⊥AC即可.
(1)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE∥PA,
又∵PA?
平面DEF,DE?
平面DEF,
∴PA∥平面DEF;
(2)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE=PA=3;
又∵E、F为AC