初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结.doc
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初中三角形总复习
【知识精读】
1.三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形中的几条重要线段：
（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）
（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）
（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）
3.三角形的主要性质
（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；
（2）三角形的内角之和等于180°
（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；
（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；
（5）三角形具有稳定性。
4.补充性质：
在中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则。
三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。
三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。
实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。
因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。
5.三角形边角关系、性质的应用
【分类解析】
例1.锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（）
A. B.
C. D.
分析：
因为为锐角三角形，所以
又∠C＝2∠B，
又∵∠A为锐角，为锐角
，即
，故选择C。
例2.选择题：
已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:
3，则这个三角形的形状是（）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
分析：
由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：
∵三角形的一个外角等于160°
∴另两个外角的和等于200°
设这两个外角的度数为2x，3x
解得：
与80°相邻的内角为100°
∴这个三角形为钝角三角形
应选C
例3.如图，已知：
在中，，求证：
。
分析：
欲证，可作∠ABC的平分线BE交AC于E，只要证即可。
为与题设联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。
显然∠EBC＝∠F，只要证即可。
由可得证。
证明：
作∠ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于F
又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE
∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF
又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF
又∵
，又∵
例4.已知：
三角形的一边是另一边的两倍。
求证：
它的最小边在它的周长的与之间。
分析：
首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。
证明：
如图，设的三边为a、b、c，其中，
因此，c是最小边，
因此，，即
故最小边在周长的与之间。
中考点拨：
例1.选择题：
如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（）
A.50 B.100 C.180 D.200
分析：
由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。
解：
所以选择C
例2.选择题：
已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（）
A.大于2 B.小于12 C.大于2小于12 D.不能确定
分析：
根据三角形三边关系应有，即
所以应选C
例3.已知：
P为边长为1的等边内任一点。
求证：
证明：
过P点作EF//BC，分别交AB于E，交AC于F，
则∠AEP＝∠ABC＝60°
在中，
是等边三角形
题型展示：
例1.已知：
如图，在中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。
求证：
（1）∠BEC＞∠BAC；
（2）AB＋AC＞BE＋EC。
分析：
在
（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在
（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。
证明：
（1）∵∠BED是的一个外角，
同理，
即
（2）延长BE交AC于F点
即
例2.求证：
直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
已知：
如图，在中，是的外角，AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD。
求证：
∠AFB＝45°
分析：
欲证，须证
∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270°
又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
∴问题得证
证明：
∵∠EAB＝∠ABC＋∠C
∠ABD＝∠CAB＋∠C
∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°
∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
在中，
【实战模拟】
1.已知：
三角形的三边长为3，8，，求x的取值范围。
2.已知：
中，，D点在BC的延长线上，使，，，求α和β间的关系为？
3.如图，中，的平分线交于P点，，则（）
A.68° B.80° C.88° D.46°
4.已知：
如图，AD是的BC边上高，AE平分。
求证：
5.求证：
三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。
【试题答案】
1.
分析：
本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。
解：
∵三边长分别为3，8，，由三边关系定理得：
2.
解：
又
，又∵
根据三角形内角和，得：
3.
解：
又∵BP、CP为∠B、∠C的平分线
4.
证明：
∵AE平分∠BAC，
又∵AD⊥BC，
又
5.
证明：
如图，设的∠BAC和∠ABC的外角平分线交于点D
则
又
。
9、等腰三角形
【知识精读】
（－）等腰三角形的性质
1.有关定理及其推论
定理：
等腰三角形有两边相等；
定理：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2.定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定
1.有关的定理及其推论
定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）
推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3.等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】
例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：
M是BE的中点。
分析：
欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。
因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。
证明：
因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
所以∠1＝∠ABC
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E
所以∠ACB＝2∠E
即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）
例2.如图，已知：
中，，D是BC上一点，且，求的度数。
分析：
题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。
因此需要考虑和在题目中的作用。
此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。
因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解：
因为，所以
因为，所以；
因为，所以（等边对等角）
而
所以
所以
又因为
即所以
即求得
说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。
把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。
本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
例3.已知：
如图，中，于D。
求证：
。
分析：
欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与的关系。
证明：
过点A作于E，
所以（等腰三角形的三线合一性质）
因为
又，所以
所以（直角三角形两锐角互余）
所以（同角的余角相等）
即
说明：
1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。
因此添加底边的高是一条常用的辅助线；
2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加
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